渐进式系统教学方法探究

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1、渐进式系统教学方法探究　　[摘要]根据概率论与数理统计课程的教学经验和发展现状，在实际教学经验的基础上，提出了循序渐进式的系统教学方法。以概率统计中的古典概型和极大似然估计两个知识点为例，演示了如何将复杂的问题分解为几个简单问题，然后再逐一解决，体现了该方法化整为零、循序渐进、易于理解和接受的特点。　　[关键词]渐进式超骰子古典概型极大似然　　[中图分类号]G642[文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2013）17-0095-036　　《概率论与数理统计》是一门集理论与实践于一体的综合性、交叉性学科，由于其近年来突飞

2、猛进的发展，概率论与数理统计的理论方法已广泛应用于自然科学、社会科学、工农业生产等各个领域。可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。这就要求教师在给学生传授概率统计时不仅要具有系统性、完整性、前瞻性，而且还要具有指导性、实用性和创造性。但从目前的传统教学方法来看，已经严重滞后难以保证达到要求。因此，尽快提高《概率论与数理统计》课程的教学水平和教学质量，已成为任课教师必须研究

3、的一个重要课题。本文根据多年从事《概率论与数理统计》的教学探索和研究，特提出一种适合本科学生的“渐进式系统教学法”。例如在讲解复杂的数学问题或者难以理解的数学思想时，学生常常感到难以理解，不妨将问题简单化，再由简到难逐步推广，直至解决复杂问题。下面以两类问题为例，说明渐进式系统教学方法的应用。　　一、超骰子问题　　在《概率论与数理统计》课程的教学中，古典概型中的概率计算问题既是重点也是难点。随机事件A的概率计算公式很简单：P（A）=，其中n是样本空间中的基本事件数，k是事件A所包含的基本事件数。难点在于如何利用排列组合方法，准确

4、地计算n和k。以超骰子问题为例，将一个复杂问题剖分成几个简单问题，使学生一步步理解，循序渐进到清楚问题脉络，能够自主分析，并能够将该方法应用到其他相似问题上。　　普通骰子：每个面分别标有1、2、…、6点，质地均匀的正六面体。　　超骰子：每个面分别标有1、2、…、p点，质地均匀的正p面体（p是大于1的整数）。　　即一次掷一颗普通骰子，有6种不同的结果；一次掷一颗超骰子，有p种不同的结果。　　问题：一次掷n颗超骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？　　这个问题初看起来很难，无从下手。采用循序渐进的思想，可以将问题简单化。如先令p=6

5、，n，=2，3，4…然后再考虑p为一般情况，亦即将该问题分解为4个子问题，其中问题的难度逐渐提高。从下面4个难度递进的问题求解过程，我们可以看到解决复杂问题的循序渐进的方法。　　问题1.一次掷两颗骰子，有几种不同结果？6　　答：21种。　　理由：假定第一颗骰子的点数为i，第二颗骰子的点数为j，两颗骰子的情况可用表示（i，j），全部可能的情况可表示如下表　　问题2.一次掷三颗骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？　　答：56种。　　如果用上述列矩阵的方法，则需要列一个三维矩阵，很不方便，而且也不便于推广，因此需要另辟蹊径，不妨这样

6、考虑：　　（a+b）n+5=（a+b）6（a+b）n-1　　比较上式中anb5的系数即可。　　问题4.一次掷n颗超骰子，有几种不同结果？　　同理，上式的计算可以由比较下式　　（a+b）n+p-1=（a+b）p（a+b）n-1　　的anbp-1的系数得到。　　必须注意，各种结果并不都是等可能出现的。拿两个普通骰子为例，出现两个1点的概率是1/36，但是出现一个1点和一个2点的概率却不是1/36，而是1/18，因为事件---“一个骰子为1点，另一个骰子为2点”含有两个基本事件“（1，2）”和“（2，1）”。　　二、极大似然估计问题　

7、　数理统计的教学中，让学生理解极大似然估计（MLE-MaximumLikelihoodEstimation）方法，是一件不容易的事。如果能够以学生身边常见的场景为例，将极大似然估计法的思想分解成若干易于理解的子问题，使学生在不知不觉中6理解和掌握极大似然估计法，从而达到理解复杂的数学思想和方法，就可以避免学生对概率统计内容望而生畏，产生厌学抵触情绪。这种教学模式，实际上也是行为主义学习理论[2]所倡导的。　　例如，设X1，X2，…，Xn是取自总体X～B（1，p）的一个样本，求参数p的极大似然估计值。　　上述解题过程，显示了求解未

8、知参数p的极大似然估计值的标准解题思路。但是，学生无法理解为什么要这样做。学生疑惑的是：为什么要求那样的似然函数？为什么要求那样的p，使似然函数达到最大值？　　通过下面几个逐步递进的问题讲解，可以为学生释疑。　　问题1.某大学寝室里住着小张、小李和小孙，其中小李