拨开云雾见青天

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1、拨开云雾见青天　　摘要：平面几何中的基本图形非常多，有着较广范的应用和其特有的重要性，“一线三等角”是其中一例。通过形式多样、类型不一的典型例子，阐述在具体的解题中如何发现、构造“一线三等角”基本图形，有效获得解题上的突破，以达到“做一题、会一类、通一片”之效果，促进学生思维能力的发展.　　关键词：一线三等角；基本图形；解题　　在解几何问题时，我们经常会遇到一些比较复杂的图形，这些图形往往是由许多个基本图形所构成.发现基本图形，从而借助基本图形获得解题思路，就能达到事半功倍的效果.　　平面几何中的基本图形非常多，本文举例介绍“一线三等角”基本图形（如下图）在实际解题中的应

2、用.　　“一线三等角”基本图形及变式：　　■　　例1.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B，C重合），在AC上取点E，使∠ADE=45°。设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式。　　解析：由条件得∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDE.　　∴△ABD∽△DCE.∴AB∶DC=BD∶CE.　　∴■=■，∴CE=■x-x2.4　　∴AE=x2-■x+1，即y=x2-■+1.　　点评：分析已知条件，不难发现∠B=∠ADE=∠C=45°，故本题图形的主体是“一线三等角”，易证△ABD∽△DCE，于是利用相似三角形对应线段

3、成比例即可顺利解决问题。　　■　　例2.如图2，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为。　　解析：由等角的余角相等得∠BAE=∠CEF=∠DFG.　　又∠B=∠C=∠D=90°，AE=EF=4，FG=2，　　∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG.　　∴AB=CE，BE=CF，DF∶CE=FG∶EF=1∶2.　　∴DF∶AB=1∶2，∴DF=FC=BE，　　设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理得x2+4x2=16，∴x=■■.　　则矩形ABCD周长为2（2x+3x）=8■.　　点评：本题关键是发现L型在矩形ABCD中构

4、成的“一线三等角”基本图形，思路精到.　　例3.如图3，点A在反比例函数y=■（x>0）的图象上，点B在反比例函数y=■（x<0）的图象上，若∠AOB=90°，tan∠OAB=■，求k值。　　解析：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，　　由等角的余角相等得∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，　　∴S△OBD：S△AOC=（OB∶OA）2=（tan∠OAB）2=■　　∴S△AOC=■×4=2，∴S△BOD=■，∴k=■×2=-■.4　　点评：本题通过引辅助线，构造出“一线三等角”基本图形，从而得到相似三角形，再运用相似三角形面积比性质达到解

5、题目的。　　例4.直线MN和⊙O相切于点C，AB是⊙O的直径，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为E，F。求证：EF2=4AE?BF.　　解析：连接AC、BC、OC，有∠ACB=90°，由等角的余角相等得∠BCF=∠EAC.故而得△AEC∽△CFB，∴■=■.由MN切⊙O于点C知EC=CF=■EF，∴EF2=4AE?BC　　点评：本题的证明思路较难形成，注意到题目条件中“AE⊥MN，BF⊥MN”，应借助AB是⊙O直径，考虑连结AC、BC，形成Rt∠ACB，构造“一线三等角”基本图形，这就为我们寻找解题思路提供了方向.　　例5.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角

6、坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP.设BP=t.（1）如图4，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（2）在（1）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。　　解析：（1）由折叠知∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∴∠OPB+∠QPC=90°.从而得△OBP∽△PCQ.∴■=■.∴■=■.∴m=■t2-■t+6（0

7、△C′QA，由勾股定理可求C′Q长，然后利用相似三角形对应边成比例与m=■t2-■t+6，即可求得t值，得P点坐标为（■，6）或（■，6）.4　　点评：第（1）题由折叠与矩形的性质发现“基本图形”，第（2）题通过作OA的垂线构造“一线三等角”，再利用基本图形获得相似进而带来比例关系。值得注意的是，利用基本图形得到线段间的数量关系是本题获解的关键。　　综上可见，许多与直线型、圆甚或函数等有关的几何综合性问题中经常会融入“一线三等角”这种基本图形，或明显，或隐约，无一例外都会涉及全等或相似方面的知识。此类问题思路的获取往往靠的是基