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《初中数学竞赛精品标准教程及练习42型如的证明_设计》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)型如的证明一、内容提要型如的证明,通常是证明它的等价命题第一种转化为线段的比例式(1)可证 和两个同分母的分式分别相等,例如 当m+n=p 时等式成立(2)可证明 c,a,b-c,b四条线段成比例,关鍵是作出b-c的差(3)可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例,关鍵是作出a+b的和第二种 转化为线段的乘积式bc+ac=ab(4)(4)常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积二、例题例1.已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,O是AC和BD的交点,OE∥AB交BC于有E求证:分析:证明,分别和,相等即可(下略)例2.已知:在△ABC
2、中,∠ACB=120,CD是角平分线求证:分析一:延长AC到E,使CE=CB,可证△BCE为等边,BE∥CD分析二:=在CB上截取CE=CD,可证△CDE为等边三角形,DE∥CA分析三:CA×CD+CB×CD=CA×CB可由S△CAD+S△CBD=S△CAB证得证明:∵S△CAD+S△CBD=S△CAB∴CA×CDSin∠ACD+CB×CDSin∠BCD=CA;xCBSin∠ACB∵Sin120=Sin60, ∴CA×CD+CB×CD=CA×CB∴例1.已知:△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4求证:分析:在AC上取CD=BC,证明 即可,要创造相似三角形,作角平分线
3、CE,连结DE,得△ACE∽△ABC,再证CE=DE=AD证明:在AC上取CD=BC,作角平分线CE,连结DE显然△CDE≌△CBE,∠DCE=∠BCE=2α∠CDE=∠B=2α,∵∠A=α,∴∠DEA=α∴CE=ED=DA∵△ACE∽△ABC,∴,,,, 1-∴例2.已知:点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比 即AC∶CB=AD∶DB=κ(称C,D调和分割AB) 求证:分析: =κ(证明步骤是分析的倒逆)例1.如图已知:△ABC中,BC=a,高AD=h,内接正方形EFGH边长为m 求证:分析:hm+am=ah, 可用面积公式证证明:∵S△AEF+S梯形
4、EFGH=S△ABC∴即 m(h-m)+(m+a)m=ah,mh+ma=ah 两边除以ahm, 得三、练习421.四边形ABCD中,∠A=∠C=Rt∠,P是BD上的一点,PM⊥AB,PN⊥CD,M,N是垂足,求证:2.△ABC中,CD是角平分线,DE∥BC交AC于E,则3.经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M,交AB的延长线于N,求证4.已知:△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC求证:(1∶S△BAE)+(1∶S△BEC)=1∶S△BED5.△ABC中,∠C=60,角平分线CD=t, 求证6.△ABC内一点P,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB
5、,D,E,F是垂足,设a,b,c 边上的高分别为ha,hb,hc求证7.已知2a=7b=14c 求证 8.已知:直线y=bx+c (b≠0), 与抛物线y=ax2(a≠0) 有两个交点,与横轴有一个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3 且b2-4ac>0求证:9.Rt△ABC斜边上的高CD=h,那么10.过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC,FG∥AB,HK∥AC求证:① ②11. 在等边△ABC外接圆的弧上取点PPA交BC于M,求证12.PA,PB切⊙O于A,B,直线PO交⊙O于M,N,交AB于C求证13.已知半径分别为R,r 的⊙O和⊙O1外切于
6、P,点P到外公切线AB的距离为d, 则 练习42参考答案:4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比1.S△ABC=abSinC2.连结PA,PB,PC由……8.x1,x2是方程bx+c=ax2 的两个根,由韦达定理得且x3是bx+c=0的根……9. 射影定理 11.用S△PBM+S△PCM=S△PBC12. AM,AN是△PAC的内,外角的平分线。三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公司股份的七月五日合同公司软腭为人体热饭围绕捍卫条约人体也日1.夜人因为
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