9、a>3}.品思感悟解含不等式的集合的交集、并集、补集运算时,一定要借助数轴,利用其直观性求解,特别要注意含参问题中等号的取舍.专题一专题二专题二本章主要数学思想数学思想是数学的灵魂,是形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁.在集合问题中蕴含着丰富的数学思想,同学们在解题时不能仅仅满足答案的获得,还应该总结提炼,体会问题所蕴含的数学思想,从而促进自己知识水平和能力水平的飞跃.1.数形结
10、合思想数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用的方法是数轴法和Venn图法.专题一专题二【例2】已知全集U={x
11、x2<50,x∈N},L∩(∁UM)={1,6},M∩(∁UL)={2,3},∁U(M∪L)={0,5},求集合M和L.(导学号51790025)思路分析可借助于Venn图解决.解全集U={x
12、x2<50,x∈N}={0,1,2,3,4
13、,5,6,7},将L∩(∁UM)={1,6},M∩(∁UL)={2,3},∁U(M∪L)={0,5}中的元素在Venn图中依次定位如下.∵U={0,1,2,3,4,5,6,7},∴A∩B={4,7}.∴M={2,3,4,7},L={1,4,6,7}.品思感悟集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解.专题一专题二2.分类讨论思想分类讨论思想,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出
14、每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解.使用分类讨论思想解题需注意三个方面:一是需要讨论时再讨论,不一定是解题的第一步就讨论;二是分类的标准要统一,分类要做到不重不漏;三是分类后要进行总结.专题一专题二【例3】已知集合P={x
15、x2-3x+b=0,x∈R},Q={x
16、(x+1)(x2+3x-4)=0,x∈R}.(导学号51790026)(1)若b=4,存在集合M,使得P⫋M⫋Q,求出这样的集合M;(2)P能否成为Q的一个子集?若能,求b的取值或取值范围;若不能,请说明理由.思路分析第(1)问要求的集合M有两个限制条
17、件:P⫋M且M⫋Q,可用列举法写出集合M;第(2)问实质是一个存在性问题,解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立,然后从已知出发,进行运算化简或推理论证,若出现矛盾,则存在性不成立,否则存在性成立.专题一专题二专题一专题二3.等价转化思想等价转化思想就是通过不断地转化、变形,把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题,从而便于问题的解决.【例4】已知集合A={x
18、x2-ax+a2-19=0},B={x
19、x2-5x+6=0},C={x
20、x2+2x-8=0}.(导学号51790027)(1)若A∩B=B∪A,求a的值;(2)
21、若⌀⫋A∩B,A∩C=⌀,求a的值.思路分析对于(1),必须理解A∩B=A∪B的意义.即由A⊇A∩B=A∪B⊇B,可知A⊇B;又由A⊆A∪B=A∩B⊆B,可知A⊆B,从而知A=B.对于(2),关键是抓住空集这个特殊集合,理解它的意义和性质,即由A∩B⫌⌀,得出A∩B≠⌀的结论.专题一专题二解(1)由已知,得B={2,3},∵A∩B=A∪B,∴A=B.∴2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根.解得a=5.(2)由已知,得B={2,3},C={2,-4},由⌀⫋A∩B,A∩C=⌀,得3∈A,2∉A,-4∉A,由
22、3∈A,得32-3a+a2-19=0,解得a=5,或a=-2,当a=5时,A={x
23、x2-5x+6=0}={2,3},与2∉A矛盾;当a=-2时,A={x
24、x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.故a=-2.专题一专题二品思感悟研究集合问题,首先要明确集合中的元素是什么.解决本题的关键是利用重要
