浅析对称性在求函数最值中的运用

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1、浅析对称性在求函数最值中的运用　　摘要：在高中数学学习中，最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法――对称性来解决.仅从距离之和的最小值问题、距离之差的最大值问题等几个方面来探讨对称性在几何中的应用.　　关键词：对称性；最大值；最小值；数形结合　　数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学教学上，它主要表现在运用图形的直观解决数量关系、利用数量关系揭示几何图形的性质、将数量关系和图形的性质在解题中串联结合使用这三个方面.　　在学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题.最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用解析几何的

2、方法――对称性来解决.本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉.　　一、距离之和的最小值问题　　问题一、求函数f（x）=■+■的最小值.　　解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策.但是我们注意到，函数的形式与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得f（x）=■+■.　　∴f（x）即为点P（x，0）与点A（0，4）的距离与点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和.5　　即：f（x）=PA+PB，作A（4，1）关于x轴的对称点A（0，4）.　　连结A′B与x轴交于点P，如图1，当（x，0）为点P时，f（x）min=P

3、A+PB=PA′+PB′=AB′=■=■=2■.　　推广1（平面）：　　例1.已知平面上两点A（4，1）和B（3，3）在直线l：3x-y-1=0上找一点M，使MA+MB最小，求点M的坐标.　　解：如图2，因为点A，B在直线l的同侧，作点B关于直线l的对称点C，AC与l的交点为M，则MA+MB取得最小值.　　设C（x0，y0），因为BC被l垂直平分，所以　　■-■-1=0■=-■　　从而可得直线AC的方程为3x+4y-16=0与3x-y-1=0，联立解得x=■，y=3∴M（■，3）.　　推广2（空间）：　　例2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是AA1的中点，在对角面B

4、B1D1D上取一点M，使AM+ME最小，最小值为________.　　解：因为A，E在平面BB1D1D的同侧，在正方体中易知点A关于平面BB1D1D的对称点为C，则连接EC与平面BB1D1D的交点为M时，AM+ME最小为EC.　　EC=■=■=-■a5　　说明：对于在直线（或平面）上求一点，使该点到两定点距离之和为最小的问题，当两点在直线（或平面）的同侧，可作出其中一点关于直线（或平面）的对称点，再求对称点与另一点的距离.这两点所在的直线与已知直线（或平面）的交点即为所求的点.　　当两点在已知直线（或平面）的异侧时，可直接连结这两点，则这两点间的距离即为所求最小值，这两点所在的直线

5、与已知直线（或平面）的交点为所求的点.　　推广3：涉及多个点的距离之和的最小值，根据两点间直线段最短公理，知点共线时距离之和最小.　　例3.二面角α-l-β的大小为60°，点P到α的距离为2，到β的距离为3，A∈α，B∈β则△PAB的周长的最小值为_________.　　解：作P关于α，β对称点P1，P2，连结P1，P2交平面于A，交平面β于B.如图3，　　C△PAB=PA+AB+BP=P1A+AB+BP2=P1P2最小.　　由二面角知识知∠P1PP2=180°-60°=120°，PP2=2×3=6，PP1=2×2=4.　　在△P1PP2中由余弦定理有P1P22=PP22+PP1-

6、2PP1?PP2?cos120°=76°，　　∴P1P2=2■则（C△PAB）min=P1P2=2■.　　二、距离之差的最大值问题　　例4.求函数f（x）=■-■的最大值.　　解：变形整理得　　f（x）=■-■　　∴5f（x）即为点（x，0）到点A（1，2）的距离与点（x，0）到B（0，1）的距离之差.点（x，0）为x轴上的动点，连结AB与x轴交于点P，如图4，当点（x，0）为点P时，f（x）max=AB=■.　　说明：对于在直线（或平面）上求一点使该点到两定点距离之差最大的问题，如果两点在已知直线（或平面）的同侧，可直接连接这两点，两点间的距离为最大值，这两点所在直线与已知直线（

7、或平面）的交点即为所求的点.　　如果两点在已知直线（或平面）的异侧，可作出其中一点关于直线（或平面）对称点，再求对称点与另一点间的距离，这两点所在直线与已知直线（或平面）的交点为所求点.　　思考题：　　1.正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两成40°角，侧棱长为6，D，E为PB，PC上的点，则△ABC周长的最小值是________.　　2.直线2x+3y-6=0交x，y轴于A，B两点，试在直线y=x上求一点P，使得PA-PB最大，并求最大值.　　参考答案：　　1.分析：此