求轨迹方程常用的方法汪雪芳

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1、求轨迹方程常用的方法汪雪芳　　轨迹方程，特别是圆锥曲线轨迹方程的求解内容丰富，联系广泛.它既包括代数、几何及三角等章节中的众多基础知识，又容纳许多解题技巧，方法多、技巧性强、运算量大，是学习过程中的难点，同时也是高考命题中的热点.解这类问题的方法大致有：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）定义法；（4）代入转移法；（5）参数法；（6）设而不求法.本文通过实例，从不同角度用常规方法进行了归纳，在此与各位同仁共勉.　　1.直接法　　直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）=0.　　例1：已知动点P到定点F（-1，0）和直线x=2的距离相等，求P的轨迹方程.　　分析：由题意，可根据点到点

2、的距离与点到直线的距离，直接找到x，y之间的函数关系.　　解：设点P坐标为（x，y），由题意可知=

3、x-2

4、（*）　　（*）式两边平方可化简为y=-6x+3　　方法点评：运用直接法求解圆锥曲线轨迹方程时，可根据圆锥曲线的定义，直接得到等量关系.此方法适用范围较普遍.　　2.待定系数法　　已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.4　　例2：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为？摇？摇？摇？摇.　　分析：对于线段AB所在的直线应分斜率存在与否

5、分类讨论，斜率不存在的情形时，A、B两点的横坐标相等，又由点在抛物线上讨论可得；对于斜率存在的情形，由题意可知，A、B两点为抛物线与直线的交点，所以可联立两方程，再利用根与系数的关系，求出yy，

6、y

7、?

8、y

9、=2m解之.　　解：依题意可设所求抛物线方程为y=2px（p>0）.　　（1）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程可表示为x=m，设点A坐标为（m，y），点B坐标为（m，y），因为点A、点B在抛物线y=2px（p>0）上，所以y=2pm，y=2pm.此时端点A、B到x轴距离之积

10、y

11、?

12、y

13、=2m，即4pm=4m，解得p=1.故抛物线方程为y=2x.　　（2）当直线AB的斜率存在

14、时，设斜率为k（k≠0），则依题意可知点A、点B为直线与抛物线的交点，设直线AB的方程为y=k（x-m），将方程y=2px（p>0）和y=k（x-m）联立解得ky-2py-2pkm=0，即得yy=-2pm，而点A、B到x轴距离之积

15、y

16、?

17、y

18、=2m，亦即

19、yy

20、=

21、-2pm

22、=2m（*），解（*）式得p=1，故抛物线方程为y=2x.　　综合上述（1）、（2）可知，所求抛物线方程为y=2x.　　方法点评：待定系数法是解题的常用方法，在求曲线的轨迹方程时亦是一种很不错的方法.　　3.定义法4　　先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.　　例3：△ABC

23、中，B（-13，0），C（13，0），且sinC-sinB=sinA，求点A的轨迹方程.　　分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），利用余弦定理的推论，转化为边长的关系.　　解：∵sinC-sinB=sinA　　2RsinC-2RsinB=?2RsinA　　∴

24、AB

25、-

26、AC

27、=

28、BC

29、　　又

30、BC

31、=26　　即

32、AB

33、-

34、AC

35、=10（*）　　∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）　　∵2a=10，2c=26　　∴a=5，c=13，b=12　　所求轨迹方程为-=1（x>5）　　方法点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说

36、明了轨迹（双曲线右支）.　　4.代入转移法　　动点p（x，y）依赖于另一动点Q（x，y）的变化而变化，并且Q（x，y）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x，y，再将x，y代入已知曲线得要求的轨迹方程.　　例4：动点P是抛物线y=2x上任一点，定点为A（0，-3），点M分P所成的比为2，则M的轨迹方程为？摇？摇？摇？摇？摇.4　　分析：分别设出点M坐标为（x，y），点P坐标为（x，y），根据题意知P=2P，再将两向量分别用坐标表示，就可找到x与x，y与y，又由点P在抛物线上，从而将x与y之间的函数关系转化为x与y之间的函数关系.　　解：设点M坐标为（x，y），点P坐标为（x，y）

37、，则y=2x，　　由题意知P=2P，P=（-x，-3-y），P=（x-x，y-y），　　故有-x=2（x-x）且-3-y=2（y-y），解得：x=2x，y=2y+3.　　又因为y=2x，所以2y+3=2（2x），化简得y=4x-.　　方法点评：本题中利用坐标表示向量，并运用代入转移法使问题求解思路易于理解，求解过程得以简化.　　5.参数法　　当动点p（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间