高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_4 幂函数与二次函数课件 理

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1、第4讲　幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象y＝xα(3)常见的5种幂函数的性质[0，＋∞){y

2、y∈R，且y≠0}2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝.顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为．两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x

3、)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)答案　(1)×(2)√(3)×(4)×3．(必修1P47习题9改编)已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是________．解析由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1,2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.答案65．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析二次函数f(x)图

4、象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.答案(－∞，－2]规律方法(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1,1)，在第一象限的图象下降．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是________(填序号

5、)．(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．答案　(1)③(2)1考点二　二次函数的图象与性质【例2】(2017·无锡调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(

6、x

7、)的单调区间．解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由

8、于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.规律方法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【训练2】(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)

9、(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋4考点三　二次函数的应用(多维探究)命题角度一　二次函数的恒成立问题【例3－1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单

10、调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．规律方法(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.答案m规律方法(1)解本题的关键是抓住两函数的图象关于直线x＝1对称，利用中点公式求解，考查分类讨论、数形结合思想．(2)涉

11、及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．【训练4】(2017·苏北四市摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．解析函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．答案(－1,0