闭环实负零点对二阶系统的影响

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1、闭环实负零点对二阶系统的影响作者jiangteng班级09电本2班学号4090208230摘要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。关键字：闭环零点二阶系统欠阻尼0引言rti二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系

2、统，一种是有零点二阶系统。对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。在阻尼比^-°时，系统不能正常工作，而在§时，系统动态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下时是最有实际意义的。下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。1.典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1二阶系统传递函数的标准形式2开环传递函数：（%、心+2现）闭环循环传递函数：呗）.+2鼻+斫二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示:0;乙ds(s+2^)~~k图1-1二阶系统标准形式的结构图1.2二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件

3、为零，当输入量为单位阶跃函数时,X「(s)=L输出量的拉氏变换为XcC)=0;(”+2如+研)系统的特征方程为s2+2他S+=0由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比g有关。这里只讨论欠阻尼的情况。当O

4、跃响应曲线如下图:图1-3单位阶跃响应1.3二阶系统动态性能指标1.3.1上升时间匚在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间匚。根据这一定义，在②中,令r时,耳=1,得0一细「,sin（69z+0）=0（3）但是，在rvoo期间，也就是没有达到最后的稳定以前，er>0,所以为满足式③只能使sin（0A+力）=0。由此得o）dtr+3=7T_兀_e_兀（4）由上式可以看出E和叫对上升时间的影响。当叫一定时，阻尼比E越大，则上升时间匚•越长；当§一定时，叫越大，则上升时间匚•越短。1.3.2最大超调量§%最大超调量发生在

5、第一个周期中/=匚时刻。根据求极值的方法，由式⑵，可求出凹=0dt1f得sin（0几+&）_J]-孑cos（W&）§tan（69/w+0）二—因此njr+arctan=门兀+8因为在n二1时出现最大超调量，所以有叽=兀。峰值时间为将"盒二占代入式②，整理得到最犬值为sin（;r+&）因为所以sinS+&）二-sin&二-（_孑Xcm根据超调量的定义/%=Xm_X」。o）xaxlOO%在单位阶跃输入下，稳态值©”(00)=1，因此得最大超调量为3%=e^xlOO%1.3.3调节时间―调节吋间.•是-(/)与稳态值礼(co)之间的偏差量

6、达到允许范围(一般取稳态值的±2%〜±5%）而不再超出的稳态过程时间。在动态过程中的偏差量为△兀=九（°°）一母（0=:sin（J]_§20」+0）当Ax二0.05或0.02时得〜-曲/sin（J1-孑如+0）=0.05（或0.02）由上式可以看出，在o〜—时刻范围内，满足上述条件的匚•值有多个，其屮最大的值就是调节时间匚。由于正弦函数的存在，-值与阻尼比§间的函数关系是不连续的。为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到由此求得调节时间为113,(5o/

7、o)=__[3__ln(1_,2)>_-,。〈5⑻11/«%）应r叫鬥页‘°592具有闭环负实零点的二阶系统的动态性能的影响2.1具有零点的二阶系统标准形式及其结构图具有零点的二阶系统的闭环传递函数为XC($)_W；(T5+1)就（$+扌%（£）°iX心疋+25严叫2丄（$2+25肿+就）T式中：T——时间常数令丄二Z,则上式可写为如下标准形式:TXc(s)w；($+z)(10)X厂0）z（s2+2Cwns+wn2）式⑩所示系统的闭环传递函数为具有零点-z的二阶系统,其结构图如下所示x,.(s)就（S+Z）■俾Z(疋+24叫s+wj)

8、A图2-1具有零点的二阶系统结将式⑩进行分解，得Xcl(Q=0