连续系统振动

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1、第四章连续系统振动4.1概述连续系统是指质量、弹性或阻尼在一定区域中连续分布的系统。我们知道离散系统的运动方程是常微分方程组，而连续系统的运动方程应是偏微分方程。本章主要涉及到弦的横向振动、杆的扭转振动、杆的轴向振动、梁振动方程、梁的自由振动、梁的强迫振动等。4・2弦的横向振动弦和绳索是工程上和生活上常用的构件，如悬索桥梁、悬索屋顶、输电线及琴弦等。弦和索质量是连续分布的、振动时可不考虑弯曲刚度，其横向振动称为弦的横向振动.1.弦的横向振功微分方程设一要张紧的弦受分布力"作用，弦的单位长度的质量为°,在整个振动过程张力为在直角坐标系屮，任取弦的一微段长

2、dx,基受力如图4-1所示edxT+—dxdx由于这里讨论的是小角度问题故有sin0",且图中&（兀,/）、T（x,°均为关于CM）的二元函数，由达阴贝尔原理（竖直方向受力平衡）可得：将上式展开:(drf(dO7AT+dx0dxdxJdxJ-T0+pdxAx+^edx+^dxdx+pdxdxdxdxdx由导数性质（uv）r=uvf+urv知:T塑如匹殛=迥故dxdxdx由于c/x较小,6(T6>)fdTdO111clxHdxdx+pdxdxdxdx所以詈数还近似为零且略去二阶小量,则整理可得a(r<9)dxd2yd(T0)p二1dt2pdxp(4.

3、1)当张力为常量时，但有。今则上式可化为drpdxp这就是弦的横向振动的偏微分方程，它与波动方程地方相同，屈于一维波动方程。若设c1=T丨p则其中c是波动方程中横波的纵向传播速度。2、弦的横向自由振动弦横向自由振动时P为零，式(4.1)则变为:a2y_Ta2ydt2pdx2(4-2)这类方程的经典解法为分离变量法.设y(xj)=Y(x)q(t)(4.3)屮Y(x)为弦的振型，只是x的函数，而去q(t)为弦的振动方式，只是t的函数。在振动过程中，振形必须满足两端的边界条件•将(4.3)公共代入(4.2)可得T(4.4)Y(x)q=-qYffP整理后得••

4、q_TYq■pY(4-5)此方程的X和t两个变量已被分离。偏微分方程己转变为常微分方程。因为式(4.5)为二元方程，欲使式(4.5)两边在任意时刻处处相等，则两边必须都等于同一常数，设该常数为-莎即可得q+(v2q=0(4.6)(4.7)丫"+02丫=0其中T式(4.6)的解为q=A]Sin(cot+cp)

5、明了弦按固有频率3作简谐振动时的振动形态。显然，在振动过程屮，振型函数始终应满足边界条件。两端固定的弦的边界条件为：畑)=”0)曲)=0y(m(/)w)=o由于讥0不能恒为零，则上式等价于:”0)=0r(/)=o将边界条件代入式(3.11)得j(0+企)人sin(曲+0)=0[(A2sin01+A3cospl)A、sin(曲+©)=0由于g(f)不能恒为零贝ijI（o+a3）=o[（A2sinpl+A3cos01）=0又因Y（兀）不能恒为零,即每H0，则严处0（4.9）U=o式（3.12第一式）称为频率方程，满足该方程的解冇无穷多个，出于当j二0吋0（

6、）=0,即%=0击=0‘此时振型函数为0,故将j=0去除，则：0jl=j兀丿=1,2,3…oo令人2T因此振形函数为：Yy=sin0jX前三阶阶振动振形如图（3-2）所示。图4-2T2固有频率：co]-/2plj等于1时的频率称为基频，其它频率为它的整数倍。基频与张力、弦长及质量有关。对应每一个振形，对应的响应为（式中常数项已经合并）：y.=A-sin0小sin（e/+為）JoJJJ对应无限多阶的固冇频率®，就冇无限多个解，每一个解都满足微分方程和边界条件,都是两端固定弦的解，因此，两端固定弦的口由振动解为：(4.10)y=工AjSin0)xsin(c

7、ojt+禺)j=i'或(对应于q函数的另一种形式)00y=》sin/?.x(BMsinco+B2jcoso)fi(4n)j=i口J见，弦的自由振动为无限多阶主振动的叠加，实际计算时，一•般取冇限项。式中待定常数Aj和(p或By和B2j根据初始条件來决定。例假设一根两端固定的弦如图所示，其初始条件为图4-3y(x,0)=爲(兀)，鸽:"

8、,=o=O；求其自由振动的响应。将上式代入式(4.11)得：00/i(x)=EB27sinA^000=》BjC0jsin卩jX在上两式两边同乘sin^x(其中i为j二1,2,3…中的某一项)并沿弦长积分，且由三角函数

9、正交性可知『si吩xsi%xdx=0,则上两式可以化为(/i(x)sinPjdx=(”B2js