有限元分析及应用软件

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1、有限元分析及应用软件有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（冇限个直线单元）逼近I员I來求得I员I的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。冇限元法最初被称为矩阵近似方法，应用丁•航空器的结构强度计算，并由于英方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数

2、・年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。冇限元法可以称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将

3、物体（即连续求解域）离散成有限个且按一定方式相互连接在一起的单元组合，来模拟和逼近原来的物体，从而将一•个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的数值分析法。将有限元分析法应用到工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具，将它应用到科学研究屮，可成为探究物质客观规律的重要手段。严格来说，冇限元分析必须包含三个方面：（1）有限元方法的基本数学力学原理；（2）基于原理形成的实用软件；（3）使用吋的计算机硬件。1・1有限元方法的历史有限元方法的思想最早可以追溯到占人的“化整为零”、“化圆为直”的方法,这些方法实际

4、上都体现了离散逼近的思想，即采用大量简单的“小单元”来填充岀复杂的大物体。早在1870年，英国科学家Rayleigh就采用假象的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代冇限元方法打下坚实的基础。20世纪40年代，由丁•航空事业的飞速发展，设计师需要对飞机结构进行精确的设计与计算，便逐渐在工程中产生了矩阵力学分析方法；1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner,Clough,Martin和Topp在

5、分析飞机结构吋系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年，Clough在处理平面弹性问题，第一次提出“冇限元方法”；1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本冇关于冇限元的专著；1970年以后，有限元分析方法开始应用于处理非线性和大变形问题；我国的一些学者也对此做出了突出贡献，例如胡海昌于1954年提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗口乘子法与广义变分法原理之间的关系，钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理，冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性

6、的理论基础。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域屮。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“冇限元法=RayleighRitz法+分片函数”，即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的RayleighRitz法，冇限元法将函数定义在简单儿何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）,且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优

7、于其他近似方法的原因之1.2有限元分析的作用基于功能完善的有限元分析软件和高性能的计算机软件对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽可能真实的结构受力信息，在设计阶段对可能出现的各种问题进行安全评判和设计参数修改是有限元分析的主要作用。有限元分析首先要针对貝有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复朵外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息（位移、应变、应力）。有限元分析的主要功能是在准确进行力学分析的基础上，设计者可以对设计对象进行刚度、强度等方面的评判，然后对不合理的设计参数进行修改，以得到较为优化

8、的设计方案；然后再次对修改过的方案进行冇限元分析，以进行最后的力学评判和校核，以确定最后的设计方案。1.3冇限元分析的方法步骤有限元分析的主要过程一般有六步:第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为貝有不同有限大小和形状且彼此相连的冇限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。第三步：确定状态变量及控制方法：一个具

9、体的物理问题通常可以用一•组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。笫四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式,其屮包括选择合理的单-元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证