奥数：第十一讲简单的幻方及其他数阵图

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1、第十一讲简单的幻方及其他数阵图　　有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方.　　据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.　　洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.　　一般地说，在n×n（n行n

2、列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.　　杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.　　九子排列上、下对易左右相更四维挺出　　怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.　　下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1将1～9

3、这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.　　分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.　　解答这个题目，可以分三步解决：　　①先求出每行、每列三个数的和是多少？　　②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？　　③最后试填其他方格里的数.　　∵A+B+C+D+E+F+G+H+I　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9　　=45.　　∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.　　∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.　　∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3

4、E　　=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）　　=15X4.　　45+3E=60　　3E=15　　E=5.　　这样，正中央格中的数一定是5.　　由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.　　因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）　　因此，B、D、F、H为奇数.　

5、　我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.　　此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.　　因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.　　解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.例2在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.　　分析与解

6、答　　①从1行和3列得：　　A+12+D=D+20+11　　A+12=20+11　　A=19.　　②观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和：　　A+15+11=19+15+11=45.　　③B=45-（16+19）=10.　　④D=45-（20+11）=14.　　⑤C=45-（16+11）=18.　　∴A=19、B=10、C=18、D=14.例3将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.　　分析已知题目中只给了3个数，22、30、38，而每个数都有3

7、个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90.　　以A、B、C记这三个数.　　如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90.　　而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.　　其中第一图中由于A+A+A=90，因此必须A=30；第二图中C+C+C=90，所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.　　在第一图中B，C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取

8、.因此共有4种不同的重新排列法.　　解：由分析可知，右图所示为4种不同的重新排列方法中的一种.例4将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.　　分析这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目