奥数：第五讲倒推法的妙用

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1、第五讲倒推法的妙用　　在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？　　分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.　　如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？　　把一个数用□来

2、表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：　　｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.　　如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.　　解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56　　［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4　　答：于昆这次数学考试成绩是96分.　　通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：　　①从结果出发，逐步向前

3、一步一步推理.　　②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.　　③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？　　分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.　　解：111－（70—10）＋（7—1）＝57　　答：正确的答案是57.例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞

4、走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？　　分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.　　解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）　　②第一棵树上原有鸟只数.16＋8＝24（只）　　③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）　　④第三棵树上原有鸟只数.

5、16—6＝10（只）　　答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？　　分析依题意，画图进行分析.　　　　解：列综合算式：　　｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2　　＝22（个）　　答：篮子里原有梨22个.例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油

6、的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？　　分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.　　求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.　　解：①甲乙两桶油共剩多少千克？　　15×2-14＝16（千克）　　②乙桶油剩多少千克？16÷

7、（3＋1）＝4（千克）　　③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）　　用倒推法画图如下：　　　　④从甲桶卖出油多少千克？15-11＝4（千克）　　⑤从乙桶卖出油多少千克？15—5＝10（千克）　　答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.例6菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？　　分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.　　　　解：①剩余的白菜是多少千克？180

8、0÷3＝600（千克）　　②第二天运进200千克后的一半是多少千克？　　600＋30＝630（