8版高中数学（人教a版）必修同步教师用书：第章.3.球的体积和表面积

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1、1.3.2　球的体积和表面积1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理　球的表面积与体积公式阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容，完成下列问题．1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)(2)长方体既

2、有外接球又有内切球．(　　)(3)球面展开一定是平面的圆面．(　　)(4)球的三视图都是圆．(　　)【解析】　(1)错误．球的体积之比等于半径比的立方．(2)错误．长方体只有外接球，没有内切球．(3)错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．(4)正确．球的三视图都是圆．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√[小组合作型]球的表面积和体积　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为π，求它的表面积．【精彩点拨】　借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．【自主解答】　(1)设球

3、的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积：V＝×π×r3＝π.(2)设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.1．一个关键抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[再练一题]1．(1)球的体积

4、是，则此球的表面积是(　　)A．12πB．16πC.D.(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)A.B.C．8πD.【解析】　(1)设球的半径为R，则由已知得V＝πR3＝，R＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为＝，所以球的体积为π()3＝.【答案】　(1)B　(2)D与球有关的组合体的表面积与体积　(1)如图1315是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)图1315A.π＋12B.π＋18C．9π＋

5、42D．36π＋18(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图1316所示，则该几何体的表面积是________cm2.图1316【精彩点拨】　先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．【自主解答】　(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝×π×3＋3×3×2＝π＋18.(2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－×π×12＝2－，四棱柱中

6、不重合的表面积为2－＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－，半圆柱中不重合的表面积为×2π×2＋π＝π，半球的表面积为×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.【答案】　(1)B　(2)4π＋121．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉．[再练一题]2．如图131

7、7是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为(　　)图1317A．18πB．30πC．33πD．40π【解析】　由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.【答案】　C[探究共研型]有关球的切、接问题探究1　若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？【提示】　设正方体的棱长为a，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以a＝2R，故a＝R，即球的内接正方体的棱长为R.探究2　正方体的外接球、内切球的半径

8、与正方体的棱长分别有什么数量关系？【提示】　设正方体的棱长为a，外接球、内切球的半径分别为R、r，则2R＝a,2r＝a.　一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积．【精彩点拨】　有关球的切、接问题，作出轴截面求解．【自主解答】　(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△S