8版高中数学（人教a版）必修同步教师用书：第章.3.柱体、锥体、台体的表面积与体积

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1、1.3　空间几何体的表面积与体积1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1　柱体、锥体、台体的表面积阅读教材P23～P25“例2”以上内容，完成下列问题．1．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面

2、积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　)(3)圆台的高就是相应母线的长．(　　)(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　)【解析】　(1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．(2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．(3)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离．(4)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，

3、同一个多面体表面展开图的面积是一样的．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×教材整理2　柱体、锥体与台体的体积公式阅读教材P25“例2”以下～P26“思考”以上内容，完成下列问题．(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　)A．15π　　B．30C．12πD．36π【解析】　圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.【答案】　C[小组合作型]空间几何体的表面积和侧面积　一个直角梯形的两底边长分

4、别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．【精彩点拨】　旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．【自主解答】　旋转所得几何体如图．由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝16π＋16π＋20π＝52π.1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积．[再练一题]1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶

5、4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)A．81π　B．100πC．168πD．169πC　[圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]空间几何体的体积　如图131所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．图131【精彩点拨】　先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比．【自主解答】　法一：设AB＝a，AD＝b，DD

6、′＝c，则长方体ABCDA′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥CA′DD′的高为CD＝a.∴V三棱锥CA′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc.故V棱锥CA′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥CA′DD′的底面面积为S，高为h，因此棱锥CA′DD′的体积VCA′DD′＝×Sh＝Sh.剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.所以棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh

7、＝1∶5.1．常见的求几何体体积的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．[再练一题]2．如图132所示，正方体ABCDA