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《数学：32《复数的四则运算》素材（新人教a版选修2-2）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：人点对应的复数为q+ZVUwR,gR),B点对应的复数为a2+b2i(a2eR,Z?2gR),C点为A〃两点的中点，则C点对应的复数为也+加;①+加,即口鱼+如地,.22例1四边形ABCD是复平面内的平行四边形，AB,C三点对应的复数分别为1+3/,-/,2+/,求D点对应的复数.解：由已知应
2、用中点公式可得4C的屮点对应的复数为-+2Z,所以D点对应的复数2>92x-+[2x2-(-l)K=3+5z.2二、根与系数的关系：若实系数方程ax2+bx+c=Q(a0)的两复根为a}+b}i,a2+b2i,bc则有q+bj+a,+b)=——，(q+如)・(血+bj)=—.aa推论：若实系数方程o?+加+c=0(心0)有两虚数根，则这两个虚数根共辘.例2方程x24-or+^=0的一个根为1+i,求实数a,b的值.解：已知实系数方程的一个根为1+/,由推论知方程的另一根为1-/,由根与系数的关系可知d=_(l+‘+l_i)=_2,b=
3、(l+i)・(I)=2.三、相关运算性质：①z为实数.oz^zozOOoz—
4、z
5、2,Z为纯虚数oz?<0oz+z=0(z工0)；②对任意复数有z=z；®zl±z2=z[±z2:④z^z2=zx*z2,特另
6、J地有Z2=(z)2；⑤—==；⑥
7、z「=z・z.kz27Z2例3设z=1,且ZH士i，求证二为实数.1+Z-证明：由条件可知zHO,则z・z=z*=1,所以亠卜亠一亠=^1^=亠Z11+厂丿14-z21+z21+(Z)l+(z)-Z-+1所以亠为实数.1+z2四、两则几何意义：①
8、z-z°
9、的几何意义为点z到点z()的距离；@
10、
11、z-z0
12、=r(r>0)中z所对应的点为以复数z°所对应的点为圆心，半径为厂的圆上的点.例4若zgC,K
13、z+2-2z
14、=1,MO
15、z-2-2i的最小值为・解：
16、z+2-2i
17、=l即
18、z-(-2+2i)
19、=l,z对应的点为到点(-2,2)的距离为定值1的所有的点，即以(-2,2)为圆心，1为半径的圆O上的点.z-2-2iB
20、J
21、z-(2+2/)
22、,为圆O上的点与点(2,2)之间的距离减去圆O的半径，可得结果为3.复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径.在求解复数问题
23、时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法.下面略举几例，以供参考.一、复数式与长方形的转化2例1复数Z],Z?满足Z]Z，HO,
24、Z]+zf=
25、Z]-zj,证明：去v().z2~解析：设复数Z],Z2在复平面上对应的点为Z
26、,Z2,^z^z2=z{-z2知,以画,近为邻边的平行四边形为矩形，・・・0石丄返,故可设勺二做"R,£工0),所以七=&2]2=_疋《(JZ2例2已知复数Z],Z2满足1^1=77+1,z2=y/j-I,fi
27、z,-z2
28、=4,求3■与
29、z}+z2的z?值.解析：设复数召，Z2在复平而上对应的点为Z「Z2,由于(衙+1)2+("—1)2=42,故02一+—Z_S故以O石，客为邻边的平行四边形是矩形，从而0石丄。石，则22yJ7—13二、复数式与正方形的转化例3已知复数Z],Z?满足
30、Zj
31、=
32、z2
33、=l,Hz}-z2
34、=V2,求证：
35、z,+z2=y/2.证明：设复数引Z2在复平面上对应的点为Z2,由条件知
36、zi-z2
37、=a/2
38、zi
39、=x/2
40、z2
41、,以ON，近为邻边的平行四边形为正方形，而z,+z2在复平面上对应的向量为正方形的—条对角线，所以
42、Z]+Z2=
43、a/2.点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点.三、复数式与菱形的转化例4已知Z],z2eC,
44、zj
45、=
46、z2
47、=1,
48、zj+z2
49、=a/3,求
50、z,-z2.解析：设复数引z2,Z1+Z2在复平面上对应的点为Z
51、,Z2,Z3,由
52、可
53、=闰
54、=1知，以OZ},返为邻边的平行四边形是菱形，・・・
55、蚪=眉，・・・
56、z
57、=d,•考虑到z=±a时，?22294^4=0；z=±ai时，三芒无意义,故使4^(tz>0)为纯虚数的充要条件是
58、z
59、=6z,z~+az~+a~z+cr1且zH±a,zH±ai
60、.复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提.通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活.文后寄语：道客巴巴是一个专注于电子文档的在线分享
