8版高中数学（人教a版）必修4同步练习题：必考部分第章.4.4.学业分层测评8

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1、学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知

2、b

3、＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(　　)A．B．C．3D．2【解析】　由数量积的几何意义知a·b＝×3＝2，故选D．【答案】　D2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2【解析】　因为

4、e1

5、＝

6、e2

7、＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9

8、e1

9、2＋8

10、e2

11、2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故

12、选B．【答案】　B3．若向量a与b的夹角为60°，

13、b

14、＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　)A．2B．4C．6D．12【解析】　∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝

15、a

16、2－

17、a

18、·

19、b

20、cos60°－6

21、b

22、2＝

23、a

24、2－2

25、a

26、－96＝－72，∴

27、a

28、2－2

29、a

30、－24＝0，∴

31、a

32、＝6.【答案】　C4．已知向量a，b满足

33、a

34、＝2，

35、b

36、＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为(　　)【导学号：00680056】A．B．C．D．【解析】　

37、a－b

38、＝＝＝，设向量a与a－b的夹角

39、为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选A．【答案】　A5．已知点A，B，C满足

40、

41、＝3，

42、

43、＝4，

44、

45、＝5，则·＋·＋·的值是(　　)A．－25B．25C．－24D．24【解析】　因为

46、

47、2＋

48、

49、2＝9＋16＝25＝

50、

51、2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋(＋)＝0＋·＝－2＝－25.【答案】　A二、填空题6．已知a⊥b，

52、a

53、＝2，

54、b

55、＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．【解析】　∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b

56、－2b2＝0.又∵

57、a

58、＝2，

59、b

60、＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝.【答案】　7．已知

61、a

62、＝

63、b

64、＝

65、c

66、＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.【解析】　∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝

67、a

68、

69、b

70、cos60°＝，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】　5或－8三、解答题8．已知向量a，b不共线，且

71、2a＋b

72、

73、＝

74、a＋2b

75、，求证：(a＋b)⊥(a－b)．【证明】　∵

76、2a＋b

77、＝

78、a＋2b

79、，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠，∴(a＋b)⊥(a－b)．9．已知非零向量a，b，满足

80、a

81、＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.(1)求向量a，b的夹角；(2)求

82、a－b

83、.【解】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴a2－b2＝，即

84、a

85、2－

86、b

87、2＝.又

88、a

89、＝1，∴

90、b

91、＝.∵a·b＝，∴

92、a

93、·

94、b

95、cosθ＝，∴cosθ＝，∴向

96、量a，b的夹角为45°.(2)∵

97、a－b

98、2＝(a－b)2＝

99、a

100、2－2

101、a

102、

103、b

104、cosθ＋

105、b

106、2＝，∴

107、a－b

108、＝.[能力提升]1．已知

109、a

110、＝2

111、b

112、≠0，且关于x的方程x2＋

113、a

114、x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)A．B．C．D．【解析】　∵Δ＝a2－4

115、a

116、·

117、b

118、cosθ(θ为向量a与b夹角)．若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4

119、a

120、·

121、b

122、cosθ≥0，又

123、a

124、＝2

125、b

126、，∴4

127、b

128、2－8

129、b

130、2cosθ≥0，∴cosθ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.【答案】　B2．已知单位向量e1，e2

131、的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.【导学号：70512036】【解】　∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，

132、a

133、＝＝＝＝，

134、b

135、＝＝＝＝，∴cosθ＝＝－×＝－.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公

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