高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第3课时 导数与函数的综合应用课件 文 新人教版

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1、第3课时　导数与函数的综合应用考点一　用导数研究生活中的优化问题x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律方法(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大

2、(小)者为最大(小)值；④回归实际问题作答.(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【训练1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.考点二　利用导数研究函数的零点或方

3、程的根【例2】(2014·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.(2)证明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根.当x>0时，令h(x)＝x3－3

4、x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根.综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.规律方法(1)本题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决.(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研

5、究方程中的重要应用.【训练2】(2016·北京卷节选)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：考点三　导数在不等式中的应用(多维探究)命题角度一　不等式恒成立问题命题角度二　证明不等式规律方法(1)利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)>0.(2)不等式

6、恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决.解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论.[思想方法]1.用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.注意转化思想与数形结合思想的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意

7、义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.[易错防范]1.利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a