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1、2009年秋季入学考试数学模拟试题1一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数的定义域是A．B．C．D．2.若数列满足:,且对任意正整数都有,则A．B．C．D．3.过平行六面体任意两条棱的中点作直线,其中与平面平行的直线共有A．4条B．6条C．8条D．12条4.“”是“函数在区间上为增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是A．B．C．D．6.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资
2、的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有A．16种B．36种C．42种D．60种7.过双曲线的左顶点作斜率为1的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,且,则双曲线的离心率是A．B．C．D．8.设函数,集合,若,则实数的取值范围是A．B．C．D．9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A．B．C．D．10.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.把答案填在答题卡中对应题号
3、后的横线上。11.若的展开式中的系数是,则实数的值是__________.12.已知则的最小值是_____________.13.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.14.若是偶函数,则有序实数对可以是__________.(注:写出你认为正确的一组数字即可)15.如图2,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是__________;当时,的取值范围是__________.三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分10分）如图3,是
4、直角斜边上一点,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若,求的值.17．（本小题满分10分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值．18、（本小题满分10分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。19、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。参考答案1-10：DADABDACCB1.2.53.4
5、.15.，16.解：(1)．如图3，， 即．（2）．在中，由正弦定理得 由(1)得， 即． 17.解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，则（2），则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝18.解:(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.ABMNCl2l1H∴AC⊥NB（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.∵
6、Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH===.19.解:椭圆方程可写为:+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+=1(x>0,y>0).y=2(07、x=x0=－,得切线AB的方程为:y=－(x－x0)+y0.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=.由=+得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,
8、得点M的轨迹方程为:+=1(x>1,y>2)(Ⅱ)
9、
10、2=x2+y2,y2==4+,∴
11、
12、2=x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1=,即x=>1时,上式取等号.故
13、
14、的最小值为3.2009年秋季入学数学模拟试题2一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。1．定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为（A）0（B）6（C）12（D）18yyyy2．函数的反函数的图象大致是xo21xo21xo21xo21（D）（C）（B）（A）3．设，则不等式的解集为（A）（B）（C）（D）4．在中，角的对边分别
15、为，已知，
