高中数学 第二章 参数方程 2_4 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-4

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线平摆线与圆的渐开线1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．[基础·初探]1．平摆线(1)如图447所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OB＝rθ.这就是圆周上的定点P

2、在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．图447(2)以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，则定点P(x，y)的参数方程为(θ为参数)．2．圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．[思考·探究]1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】　用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断

3、曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】　根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的∠AOB政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线即是角φ.显

4、然点P由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：________

5、_____________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________摆线　已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．【自主解答】　根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参

6、数方程的表达式．令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.所以r＝.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求摆线的参数方程是(其中φ为参数，k∈N＋)．[再练一题]1．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、

7、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线【解】　令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(φ为参数).圆的渐开线　已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)求出该渐开线的基圆的方程，当参数φ取时，求对应曲线上点的坐标．【思路探究】　由圆的渐开线的参数方程形式

8、可得r＝3，把φ＝代入即得对应的坐标．【自主解答】　∵，∴半径为3.此渐开线的基圆方程为x2＋