8版高中数学（人教a版）必修4同步练习题：必考部分第章.3.3.学业分层测评5

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1、学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2【解析】　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．【答案】　B2．如图238，向量a－b等于(　　)图238A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．

2、3e1－e2【解析】　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.【答案】　C3.如图239，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝(　　)图239A．a＋bB．a＋bC．a－bD．a＋b【解析】　易知＝，＝.设＝λ，则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ，由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝，从而＝，从而＝＝(a＋b)．【答案】　D4．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)A．B

3、．C．D．【解析】　∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝－＝.【答案】　C5．如要e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是(　　)A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对【解析】　选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向

4、量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．【答案】　A二、填空题6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【解析】　由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】　－7．如图2310，在平面内有三个向量，，，

5、

6、＝

7、

8、＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，

9、

10、＝5，设＝m＋n(m，n∈R)，则m

11、＋n＝________.图2310【解析】　作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，则∠COQ＝∠OCP＝90°，在Rt△QOC中，2OQ＝QC，

12、

13、＝5.则

14、

15、＝5，

16、

17、＝10，所以

18、

19、＝10，又

20、

21、＝

22、

23、＝1，所以＝10，＝5，所以＝＋＝10＋5，所以m＋n＝10＋5＝15.【答案】　15三、解答题8．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：(1)与夹角的大小；(2)与夹角的大小．【解】　(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，

24、∴△ABC为直角三角形．∵tanA＝＝＝，∴A＝30°.又∵D为AC的中点，∴∠ABD＝∠A＝30°，＝.在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，∴与的夹角为120°.(2)∵＝，∴与的夹角也为120°.9.如图2311所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设＝a，＝b.图2311(1)用a，b表示；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线．【解】　(1)＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.(2)证明：连接AC，BD交于O，则＝.∵E，F分别

25、是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，∴＝＝×＝－，又C为公共点，∴A，G，C三点共线．[能力提升]1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】　为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，∴点P在上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．【答案】　B2．如图2312，在△ABC中，点M是BC的中点，

26、点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值.【导学号：70512031】图2312【解】　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，∴＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.又＝＋＝2e1＋3e