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时间:2019-01-04
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1、第十一讲格点与面积 请看下图,这是两个画在方格纸中的多边形,图(a)的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图(b)中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.(比如A点)像图(a)这样的多边形,我们称它为格点多边形.什么是格点?平常我们用的方格纸的方格(每个小方格都是一个小正方形)都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的,其中相邻两条平行线的距离都是相等的(通常规定是1个单位),在这样的方格纸上,横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格
2、点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点,但我们还不能把它称为格点多边形. 显然易见,格点多边形面积的大小,与格点数目(包括边界上的)的多少有着密切的关系.一般看来,格点多边形的面积越大(小),它所包含格点数目(包括边界上的)就越多(少).是否存在这两者之间关系的精确的计算公式?通过它只计数格点数目(包括边界上的)的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小?下面让我们共同探索这个规律.例1如下图,计算下列各个格点多边形的面积. 分析本题所给的图形
3、都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了. 解:第(1)图是正方形,边长是4,所以面积是4×4=16(面积单位). 第(2)图是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5×3=15(面积单位). 第(3)图是三角形,底是5,高是4,所以面积是5×4÷2=10(面积单位). 第(4)图是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5×3=15(面积单位). 第(5)图是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位). 第(6)图是梯形,
4、上底是3,下底是6,高是4,所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位).例2如下图(a),计算这个格点多边形的面积. 分析这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下图(b),这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积. 解:矩形面积是6×4=24. 直角三角形I的面积是: 6×2÷2=6. 直角三角形Ⅱ的面积是:4×
5、2÷2=4, 直角三角形Ⅲ的面积是:4×2÷2=4. 所求三角形的面积是: 24-(6+4+4)=10(面积单位).例3如右图,计算这个格点多边形的面积. 分析这是个不规则的多边形,可以仿照例2的方法,用矩形面积减去四个直角三角形的面积,如下页图(a)所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块,只要所分成的每个图形的面积好求,那么整个四边形的面积就能求了,如图(b)所示. 解法1:矩形面积是4×3=12. 直角三角形Ⅰ的面积是:2×1÷2=1. 直角三角形Ⅱ的面积是:3÷1
6、÷2=1.5. 直角三角形Ⅲ的面积是:2×1÷2=1. 直角三角形Ⅳ的面积是:2×2÷2=2. 所以,所求四边形的面积是 12-(1+1.5+1+2)=12-5.5=6.5(面积单位). 解法2:根据图(b)所示切割的情况,四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形,它们的面积分别是:3×1÷2=1.5;3×1÷2=1.5;2×1÷2=1; 1×1÷2=0.5;2×1=2. 所以整个四边形的面积是: 1.5+1.5+1+0.5+2=6.5(面积单位). 从解法2可以看到,把一
7、个图形切割的方法虽然各有不同,但要遵循的原则是:切割的块数越少越好,而且每块面积都易于求出. 为探寻图形面积与格点数目的关系,特研究下面例4.例4如下页图,计算图(A)与图(B)的面积. 解:用切割方法(如下图所示). 图(A)面积为:4×1+4×2÷2=8(面积单位). 图(B)面积为: 3×1÷2+2×2+(1+2)×2÷2+2×1÷2=8(面积单位). 说明:从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外,它们还有另两个共同特点:一是图A与图B周界上的格点数相等,都是8个.二
8、是它们所包含在图形内的格点数也相等,都是5个.这个结论给了我们一个启发:难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同,就一定能断定这两个图形面积相等吗?为此让我们做进一步的探索.例5如下图,计算下列各格点多边形的面积,统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数. 解:列表如下: 我们对表内数据分析发现:任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积,用N表示图形内的格点数
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