奥数：第十一讲 格点与面积

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1、第十一讲格点与面积　　请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点

2、，但我们还不能把它称为格点多边形.　　显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1如下图，计算下列各个格点多边形的面积.　　　　分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.　　解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.　　第（2）图是矩形，长是5

3、，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.　　第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.　　第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.　　第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.　　第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2如下图（a），计算这个格点多边形的面积.　　分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还

4、有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.　　　　解：矩形面积是6×4=24.　　直角三角形Ｉ的面积是：　　6×2÷2＝6.　　直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，　　直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.　　所求三角形的面积是：　　24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3如右图，计算这个格点多边形的面积.　　　　　分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个

5、四边形的面积就能求了，如图（b）所示.　　　　　解法1：矩形面积是4×3=12.　　直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.　　直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.　　直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.　　直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.　　所以，所求四边形的面积是　　12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.　　解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；　　1×1÷2=0.5；2×1=2.　　所以整个四边形的面积是：　　1.5+1.

6、5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.　　从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.　　为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.　　　　解：用切割方法（如下图所示）.　　图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.　　图（B）面积为：　　3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.　　　　　说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的

7、格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.　　　　解：列表如下：　　　　我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数