奥数：5.3.不定方程及其应用.题库学生版

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1、不定方程及其应用知识点睛黑体小四一、不定方程的概念楷体五号我们曾经学过一元一次方程，例如，解这个方程可得．如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程．这个方程有无数多组解．比如，，等．这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解．黑体小四二、不定方程整数解的判定楷体五号不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解．如果方程的两端对同一个模（常数）不同余,显然,这个方程必无整

2、数解．而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解．黑体小四三、不定方程整数解的求法楷体五号不定方程没有统一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法．对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路．定理1：若二元一次不定方程，整数和的最大公约数不能整除，则方程没有整数解．定理2：若整数,互质，则方程有整数解，同时方程也有整数解．若是方程的一个整数解，则，是方程的一个整数解．定理3：整系数方程有整数解．定理4：如果是满足整系数方程的一组整数解，则（其中为任意整数）也是满足上式

3、的整数解．这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在时，可选择为正（负）数，此时为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．例如，方程的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为：．注意：定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容．黑体小四例题精讲黑体小四一、不定方程整数解的求法楷体五号1．一次不定方程整数解的求法楷体五号【题01】求方程的整数解．【题02】求的整数解．【题03】求方程的整数解：【题04】求方程的整数解：．【题05】求的所有正整数解．【题06】求方程的所有正整数解．【题07】求

4、的非负整数解．【题08】求的整数解．【题09】求的整数解．【题10】求方程组的正整数解．楷体五号2．二次不定方程整数解的求法楷体五号【题11】求不定方程的整数解．【题01】求方程的整数解．【题02】求方程的整数解．黑体小四二、不定方程整数解的判定楷体五号【题03】下列不定方程（组）中，没有整数解的是（）A．B．C．D．【题04】满足方程的正整数对的个数是（）A．0B．1C．2D．无限个E．不确定【题05】满足联立方程的正整数的组数是（）A．0B．1C．2D．3E．4【题06】求不定方程的正整数解的组数．【题07】已知两个自然数和及素数满足方程．证明:这时有及．【题08】证明方程无整数解

5、．【题09】不存在整数使方程成立．【题10】求证：方程没有各不相同的正整数解．黑体小四三、不定方程的应用楷体五号【题11】有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共张，购买一把价值为元的雨伞，不同的付款方式共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【题01】某次测验共20道选择题、答对一题记5分，答错一题记-2分，不答记0分，某同学得48分，那么他答对的题目最多是个．【题02】某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分贷款，有多少种不同的方法？【题03】大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱

6、，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？【题04】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得分，套中小猴一次得分，套中小狗一次得分．小明共套次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套次共得分，问：小鸡至少被套中几次？【题05】把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分颗，就剩下颗；如果每只猴子分颗，那么最后一只猴子得不到颗，那么，共有只猴子，共有颗花生．【题06】今有浓度为、、的甲、乙、丙三种盐水分别为克、克、克．现要配制成浓度为的盐水克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【题07】甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲

7、库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍．问甲库原来最少存粮多少袋？【题08】旅游团一行人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天元，二人间的每人每天元，单人间的每天元，如果旅游团共住满了间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？【题09】试证明存在自然数，使得的后三位数字是．【题10】某自然数与的和是的倍数，并且与的差是的倍数，求这样的自然数中最小的个．【题11】设是正整数，记为（例如，），若