数形结合思想在函数问题中的应用（高三）

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1、敎形箱合恩惣在岛敎问麵申的盜用（咅三丿热学©杉：1、知识目标1）理解数形结合的本质：儿何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质.2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.2、能力目标1）掌握用初等函数的图像来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识.掌握运用图像将代数问题转化为几何问题的技巧.2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数形结合转化问题的思想方法.3、情感目标通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力•培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新

2、精神.渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.魏歹篁点：利用基木初等函数的图像将函数问题转化为几何问题.（以形助数）斂萼砸鱼：利用图像转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路.羞学方注：启发式教学.张婁：利用多媒体辅助教学，使学生更容易从直观上理解“数”和“形”之间的关系。教学过程一、新课引入1.复习高中所学的儿种基本初等函数的图像.1）提问：上述四个函数图像分别对应于四个函数y二X?,y=,y=0.5；y=log2x中的哪一个？2）说明上述四种函数及图像代表了儿类常用函数的基本图像.3）强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图像上的体现，比如特殊的点、线

3、（对称轴、渐进线）。2.几种常见的图象变换（提问）平移变换、伸缩变换、对称变换.3.说明函数图像的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性质（奇偶性、单调性和周期性等）•许多函数问题大多可以从函数的图象中得到宜观地解释或形象地提示解决问题的方法.二、基础训练题组1.函数y=(x+lW的反函数的图像不经过第象限.A.一B.二C.三D.四分析：正确作出函数的图像是木题的关键所在.由于它不是基木初等函数，其图像需要由初等函数的图像作适当的变换得到.(提问学生：如何作出图像？本题有2种变换方法，可启发学生思考•)方法二：利用函数图像和其反函数图形Z间的对称关系作图.y=0+1)3的反函数为y

4、=x3-1o从中观察岀：函数图像不经过第二象限.选B.解题回顾：木题的关键是正确作击图像，要注意常用的图象变换方法.结论：运用数形结合方法可确定图像趋向.2.已知方程

5、x2-4x+3

6、=m有4个根，则实数m的取值范围是分析：此题并不涉及方程根的具体值，只是根的个数，而求方程的根的问题可以转化为求两条曲线的交点.故利用函数图像是解本题的一种简便方法.借助于多媒体，学生可以很盲观地求得.Ovm

7、1个根、无实根，分别求出m的取值范围.3.由函数y=2sin3x(-

8、XI，X2是很难的(对高中学生来说是解不出的).是否就没办法呢？再次审题，注意到两个方程左边的两个函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称，这时可启发学生用图像的对称性来求解.构造函数y二f(x)=4-x,y=fi(x)=2x,y=f2(x)=log2将Xi，X2分别看作函数f(x)与f

9、(x)、f2(x)的交点，再利用对称性求解.y=4-x解得C(2,2).y=x所以X1+X2=4.解题回顾：(1)本题运用了图像的对称性,将本来难以入手的问题很简便的求出，体现了数形结合思想方法直观、清晰和快捷的优点•利用数形结合可进行数值估计.(2)变化题：设a>0,且aHl,xi为方程ax=b-x的根

10、，x?为方程logaX=b-X的根，则X

11、+X2=•(答案为b.同样利用图像的对称性)三、能力训练题组设函数/（兀）="+1-必，其中a>0.解不等式/（x）Wl题目分析：解带参数的不等式，需耍就参数的取值情况分类讨论.按常规解题方法此不等式等价于（一般来说，学生都会想到此种方法）rx2+l>0J+ax>0由a>0,转化为Lx2+l<(l+or)2x>0(d?—l)x+2°n0或（II）rx<0I(«2-1