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《6届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：曲线与方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[备考方向要明了]考什么怎么考了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向，通常以解答题形式出现，一般是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与所求轨迹的位置关系，难度较大，如2012年辽宁T20，湖南T21等.[归纳·知识整合]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合
2、，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．[探究] 1.若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．2．求曲线方程的基本步骤3．两曲线的交点(
3、1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．[自测·牛刀小试]1．已知M(－2,0)，N(2,0)，
4、PM
5、－
6、PN
7、＝4，则动点P的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似
8、双曲线，但不满足2c>2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线．2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件
9、PF1
10、＋
11、PF2
12、＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段解析：选D 当a＝3时，点P的轨迹是线段，当a≠3时，点P的轨迹是椭圆．3．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一分支C．圆D．椭圆解析：选C 法一：设A(a,0)，B(0，b)，AB中点为M(x，y)则a＝2x，b＝2y，由AB＝2，
13、得＝2，即x2＋y2＝1.法二：当A，B分别在x，y轴上时，由△AOB是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A或B与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．4.已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足
14、PA
15、＝3
16、PO
17、，则P点的轨迹方程是______________________．解析：设P点的坐标为(x，y)，则＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：8x2＋8y2＋2x－4y－5＝05．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是
18、______________．解析：设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)·(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．答案：椭圆直接法求轨迹方程[例1] 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．[自主解答] (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－
19、＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))；④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A，B两点，求△AOB的面积的最大值．解：由例1(2)知，当λ＝－2时
20、，轨迹C为椭圆，其方程为x2＋＝1(x≠±1)．由题意知，l的斜率存在．设l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程中整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个
