学年论文姚文武

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1、乓鶏二理字叹本科住学年総殳论文题目学生姓名姚文武学生学号200890014056专业名称指导教师张瑞（女）数学系2010年12月20日函数极限求解方法探析姚文武摘要：极限运算是数学分析中较重要的一种运算.本文主要介绍了求解函数极限的几种方法，并针对各种方法给出了典型例题.关键词：数列极限；函数极限；单调性在数学分析与微积分学中，极限的概念占有重要的地位，并以各种形式贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是复习数学分析和微积分的关键一环.本文下來就求函数极限的方法和技巧做一个比较全面的概括和总结.1•利用极限四则运算法则求极限四则运算法则⑴若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函

2、数f土g,f・g当XT兀°XT.*).V—>.t0时极限也存在，月.1)lim[f(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x);x—>X0XT.*)A-^.V02)lim[f(x)g(x)]=lim/(x)-limg(x);x-»xoXTqA—又若limg(x)H0,则//g当兀T心时极限存在，且有3)0g(x)lim/(x)XT・《)limg(x)XT"。对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则，法则木身很简单但为了能够使用这些方法，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定•常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分

3、解、分子或分母的冇理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量代换.例1求limr—JT+1丿解当兀+1H0时，有13(兀+1)(兀一2)x-2X+1兀'+1故所求极限limXT-1-1-2==-l.“tT兀兀+1(―1)—(_1)+12.利用两个重要极限求解•[1两个重要极限门Llim1%=1,2.1im(l+—)'-e(或lim(l+a)a=e).xtO%XT8%qtO使用它们求解吋，最重要的是所给函数或数列做适当变形，使之具有相应的形状，有时也可通过变量替换使问题简化.HIc1-cosx例2求hm——-—•Z)X2xtO广xtO2•Xsin—[兰223.利用夹逼原理

4、求解迫敛性定理:1设lim/(x)=limg(x)=A,且在某t/°(x0;^)内冇XT®XT"。/(x)

5、实数ah2,求liman.解显然｛%｝是递增的，乂~“+A+A+・・・+Aw1+丄+丄+」丄12232n21-22-3⑺―1加wip)+(厂§)+・・・+(荷n2—v2•zi=1,2,....n于是由单调有界定理,匕｝收敛,Hliman=2.5.利用无穷小量性质求解性质⑵1.有限个无穷小量Z和、差、积仍为无穷小量.2.无穷小量与有限量的乘积为无穷小量.定理⑵设/(x),g(x)满足(i)lim/W=O,(ii)

6、g⑴为正整数)贝ijlimg(x)/(x)=0.例5求limxsin—.xtOy解由limx=0,而且xtO1sin—x<1,故原式二limx1=0.XT()注意［注有限个无穷

7、小的和是无穷小，有界函数与无穷小的乘积是无穷小•用等价无穷小替换极限常常行之有效，但要注意：只有对所求极限式小相乘或相除才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换代.&利用函数连续性求解(适用于求函数在连续点处的极限)定理⑵若函数/在点兀()连续，g在点“()连续，“()=/©)),则复合函数g。/在点兀0连续.例6求limsin(l-x2).XT1解sin(l-x2)可看作函数g(“)=sin“与/(x)=l-x2的复合，则limsin(l-x2)=sin(lim(l-x2))=sin0=0.XTlXTl注意：根据连续性的定义，上述定理的结论可表为：limg

8、(/(兀))=g(lim/(x))=g(/(x0)).XT必7.利用洛必达法则⑺求解洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而乂有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则•使用时注意适当的化简、换元，并与前而的其他方法综合使用，可极大的简化运算.例7求lim片T+ooy'解lim=limX—>+«>兀-x—lim—=lim—=+°°.286x6运用洛必达法则求极限应注意以下儿点[3]:1.要注意条件，也就是说，在没有化成9,二时不可导；0