单摆在matlab中的应用

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1、《MATLAB语言》课程论文运用MATLAB语言解决单摆的问题姓名：李毛毛学号：12010245339专业：电子信息工程班级：2010级指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011/12/25运用MATLAB语言解决单摆的相关问题（李毛毛电子信息工程2010级1班）【摘要借助MATLAB计算软件，制作一个动态单摆的模型，使人能直观地看到单摆的运动情况；运用MATLAB语言对单摆水平分力和竖直分力进行研究，数据可以直观的看出力的变化范围；最后还运用MATLAB语言对单摆的角速度和单摆的二阶性进行了分析。建立单摆摆角的二阶微分方程模型，并化为单摆的摆角和角速

2、度的一阶微分方程组，在相平面上分析单摆在圆周上的运动时，摆角和角速度的关系。【关键词】：单摆周期摆长单摆的二阶性角速度MATLAB语言单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成.摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆.在满足偏角&〈10。的条件下，单摆的周期单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时，其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时,即单摆在大摆角情况下运动时，这种近似已不在成立，其运动方程满足非线性微分方程。因此，对摆

3、角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下，最大摆角的取值不同，其中包括3。,5。,10。。因此，这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难，给实验带来较大的误差。同时，学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。MATLAB是用于算法开发，数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言。本文将借助于MATLAB这个强大的数学软件，计算了任意摆角下单摆运动周期的精确解，消除了摆角问题带来的误差。同时利用该软件，仿真出大摆角吋单摆的运动情况，为单摆测重力加速度实验中大摆角问题的讲解提供了较好的手段。一、单摆的介绍1•单摆的定义

4、用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。2.摆长的定义摆长指的是从悬点到摆球重心的距离。3.平衡位置当摆球静止在平衡位置0点时，细线竖直下垂，摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡，0点就是摆球的平衡位置。2.回复力将摆球拉离0点，从A位置释放，摆球在细线的拉力F和重力G的作用下,沿AOA'圆弧在平衡点0附近来冋振动，当摆球运动到任一位置P吋，此吋摆球受重力G,拉力F作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分解成切线方向分力G1；和沿半径方向G2,重力分力G1不论是在0左侧还是右侧始终指向平衡位置,而且正是在G

5、1作用下摆球才能回到平衡位置3.条件摆角0<10°4.单摆二阶性的介绍(1)建立单摆摆角的二阶微分方程模型V=ld(p设单摆摆线与铅垂线夹角为。⑴，则摆锤切向速度为dt,把重力驱分解成MP与MQ两个分量由牛顿第二定律知：dvm—=-m2sincp力(2):即:dr(3)其中"2这是单摆摆角的二阶非线性微分方程模型.(2)建立单摆的摆角和角速度的一阶微分方程组模型上述二阶方程模型等价于下面的一阶微分方程组模型：d(p~dtdco~dt=0)=-ks(p(4)其屮⑵为角速度。由此可以研究摆角和角速度的相位关系，从而观察单摆的运动情况。第二步：摆角和角速度的相位关系及

6、其相位图:da)_^sin(pd(pCD积分之，得摆角和角速度的相位关系：12—ar2+£(l-cos(p)=E(6)E是非负常数，这里未考虑空气阻力。上(6)式表达了单摆的能量守恒律，左端第一项是动能项，第二项是势能项，E是总能量(不考虑摆锤质量、摆长等常数因子)。co—±寸2E—£(1—cos0)](7)土号表示摆线摆动方向是逆时针或顺时针方向。总能量E是单摆开始摆动时给定的。令E()=2k,这是单摆的最大势能。由上述公式我们知道，角速度关于摆角是周期变化的，周期为2龙，即单摆的动能随着摆角的变化而周期变化的。二、利用MATLAB处理单摆的相关问题1.运用Ma

7、tlab语言制作单摆%挂摆横梁%bydynamic%seealsohttp://www.matlabsky.com%2008.6.9h=figure(*numbertitie*r*off*,*name*t'擦除动lElj寅刀£(挂摆横梁)Matlabsky*)%绘制横梁plot([-0.2;0.2]z[0;0],r-k*zTinewidth20);%画初始位置的单摆g=0.98;%重力加速度，可以调节摆的摆速1=1;%摆长theta0=pi/4;%初始角度x0=l*sin(thetaO);%初始x坐标y0=-l*cos(thetaO);%初始y坐标axis([