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1、厂中国高考数学母题］(第261号)线性回归方程及其应用回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题，着意于回归分析的考查是课标全国卷屮体现统计思想的重要方式;回归分析试题已成为近几年高考的一大亮点，归纳回归分析试题的解题程序就十分必要和紧迫.［母题结构］:(I)(解题程序):由变量x与y之间的n个样本点(X),yj,(x2,yj,…，(xn,y„),求x与y之间的回归方程,并解决相关问题:①利用散点图，直观判断回归方程y=a+bf(x)的基本类型;②如果f(x)二x,即变量x与y是线性相关，或直接求线性回归方程;或对原始数据处理后，求线性回归方程;如果f(x)Hx,即变量x与y是非
2、线性和关，首先使用换元t=f(x),把原始数据(x.；,yj变为(切yj,并由此求变量t与y的线性回归方程，进而得到x与yZ间的回归方程;③由x与yZ间的回归方程，解决相关问题；(II)(基本性质)①回归直线y-bx+&必过样本中心点(xty);®n个样本点(Xi,yj,(x2,y2),…，(xn,*)中，数据xbx2,x3,…,Xn减去同一个数X,数据yby2,y：“…,y“减去同一个数Y,回归方程中的久不变;③n个样本点(xby(),(x2,y2),•••>(xn,yri)中，数据xi,x2,xs,…,Xn减去同一个数X,数据yby2,y3,•••»y.减去同一个数Y,相关系
3、数不变.［母题解析］:略.1.线性回归子题类型I:(2007年广东高考试题)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与和应的生产能耗y(吨标准煤)的儿组对照数据.(I)请画出上表数据的散点图；(II)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程曲x+&;(III)己知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(II)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值:3X2.5+4X3+5X4+6X4.5-66.5).:［解析］:(1)由题中所给数据,可得点(3,2.5),(4,3),(
4、5,4),(6,4.5),在平面直角坐能:标系中，描出上述各点，即得散点图：耗;(II)由x=l(3+4+8卜6)=4.5,T=丄(2.5+3+4+4.5)=3.5,32+42+52462=86,3X2.5+4X3+。4'4•*■产応5X4+6X4.5=66.5=>4—工易力一4xyh二4_2i=l665-4x4・5x3・586-4x4.52二0.7=&二亍_/；:二3・5-0.7X4.5=0.35n线性回归方程是y=0.7x+0.35;(III)由(II)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90-(0.7X100+0.35)=19.65(吨)・工3
5、•—xXx・一y)［点评］:线性回归中，求线性回归方程x的系数/；是的重点，也是难点，教材中给出两个公式A(称为公£(码・-x)1=1工X》-nxy式丨)和/；二(称为公式II),实践证明：若对相关数据不处理，则使用公式丨比公式II的运算量小；若对相关数ZV-/U2i=据进行处理，则使用公式II;使用如下性质：回归直线y=bx+a必过样本中心点(7,孑)，求［同类试题］:单价x(JL)^838.238.4P828.8393销星y)件H90^8438338W75P68-1.(2012年福建高考试题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如
6、下数据：(I)求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20,a=y-bx;（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成木是4元/件,为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润二销倍收入-成本）.2•数据处理子题类型II:（2011年安徽高考试题）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据:（I）利用所给数据求年需求量与年份之间的冋归直线方程y=bx+a;200"20042006.12008.12Q10.1（II）利用（1）＞1＞所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求最.农忒蟹（方中，23612",257.,2"、28ki温馨提
7、示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明.［解析］:(法一)(I)由7二2006,7-260.2nb二七236-26(12)+(-2X246-26Q2)+0(257-2602)+2(276-2602)+4(286-26(12)M)2+(-2)2+02+22^42=>a二孑-b7=-12778.8=>y二6.5x-12778.8;(II)在$=6.5x-12778.8中，令x二2012得y=299.2=>预测该地2012年的粮食需求量是299.2万吨;（法-）（1）因年份x的
