例谈高考“函数的零点”题型，把握“函数的零点”教学

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1、例谈高考“函数的零点”题型，把握“函数的零点”教学　　摘要：函数的零点是新课标新增内容之一，它是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，函数的零点充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想。诸如方程根的问题、存在性问题以及交点问题等都可以转化为零点问题来讨论，因而函数的零点成了近年来高考新的热点而备受青睐，且常常以选择题、填空题、解答题等不同的形式出现，是学生得分的拦路虎。　　关键词：函数的零点；函数的零点题型；函数的零点解法；函数的零点教学　　一、函数的零点问题在高考中的地位　　函数的零点是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学（必修1）第三章的内容，因其内容沟通函数、方程、图

2、像等知识点，大部分高考试卷都有相关内容的试题，针对这个命题资源，命题人将函数的零点题目展现得多姿多彩，并且出现了和导数融合的综合性问题，可见函数的零点在现在高考中的重量。随着新课程的深入推进，高考命题也由原来的知识立意逐步向能力立意转化，逐步在知识网络的交汇处命制试题，函数的零点也由原来的“知识性”逐步向“工具化”转变。函数的零点这一道高考美丽的风景线将是今后高考命题的热点和“增长点”。　　二、近三年来高考函数的零点题型归类7　　认真分析研究近三年各地高考试卷，可以发现函数的零点这部分高考题大致有以下几种题型。　　题型1：求函数零点的个数　　例1.（2012年高考湖北文）函数f（x）=

3、xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（）　　A.2B.3　　C.4D.5　　解析：由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0；其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■（k∈Z），故x=■+■（k∈Z），又因为x∈[0，2π]，所以x=■，■，■，■.所以零点的个数为1+4=5个，故选D。　　例2.（2012年高考北京文）函数f（x）=x■-（■）x的零点个数为（）　　A.0B.1　　C.2D.3　　解析1：函数f（x）=x■-（■）x的零点，即令f（x）=0，根据此题可得x■=（■）x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，

4、故选B.　　解析2：因为函数f（x）=x■-（■）x，可知f（x）在定义域内单调递增，且f（0）=-1<0，所以函数的图像与x轴只有一个交点，故选答案B。　　例3.（2012年高考湖南文）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π7]时，00，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（）　　A.2B.4　　C.5D.8　　解析：由当x∈（0，π），且x≠■时，（x-■）f′（x）>0，知x∈[0，■）时，f（x），f（x）为增函数。又x∈[0，π]时，0

5、函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图像如下，由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为4个，选B。■　　解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是直接求出函数的零点，二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到。数形结合可以考虑把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点个数，也可以考虑函数的单调性来分析函数与x轴的交点，从而得到函数的零点个数。　　题型2：寻求函数的零点所在的范围　　例4.（2011天津高考理科）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是　　（）　　A.（-2，1）　　B.（-1，0）　　C.（0，1）　　D.（1，2）

6、　　解析1：因为f（-2）=2-2-60，所以函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（-1，0），故选B。7　　解析2：由f（x）=2x+3x=0可化为2x=-3x，画出函数y=2x和y=-3x的图象，可观察出选项C、D不正确，且f（0）=20+0>0，由此可排除A，故选B。　　解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是利用函数的　　零点存在性定理求解，通过所给的区间端点进行检验；二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到，既把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点的大致区间进行求解判断。　　题型3：已知函数的零点情况，求参数问题　　例5.（2011山东高考）已知

7、函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2　　解析1：方程logax+x-b（a>0，且a≠1）=0的根为x0，即函数y=logax（2　　解析2：由于20，因此，函数必在区间（2，3）内存在零点，故n=2。　　例6.（2011辽宁高考文科）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则的取值范围是___________。　　解析：由于f′（x）=（ex-2x+a）′=ex-2，故函数在（-∞，ln2）上递减，在区间（ln2，+∞）