巧用整体思想求解数列问题

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1、巧用整体思想求解数列问题　　整体思想是一种着眼于问题的整体结构，以统摄的方法抓住问题的全貌或本质的思想.由于数列本身就是一个特殊的整体，所以运用整体思想解数列问题，具有决定全局的重大意义，它使问题的解决进入到了一种无可比拟的胜境.　　一、整体代入　　把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论.　　例1（肇庆市2013届高三上学期期末）等比数列{an}中，a1+a2=20，a3+a4=40，则a5+a6等于.　　解析：a1+a1q=20a1q2+a1q3=40q2=2，a5+a6=a1q4+a1q5=q2（a1q2+a1q3）=80.　　点评：本题的求解始终

2、利用整体思想进行求解，根据前两项整体相除得到q2，再求解a5+a6时，把a1q2+a1q3看作一个整体，使得问题计算起来简单化.　　例2设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6a4=711，则S11S7等于.　　解析：因为a1+a11=2a6，a1+a7=2a4，所以S11S7=11（a1+a11）27（a1+a7）2=11a67a4=11×77×11=1.　　点评：本题求解利用等差数列的性质，结合整体代入思想进行求解.　　二、整体求解5　　把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得.　　例3（2013宝山区2012学年第一学期期末）若数列{an}的通项公式

3、是an=3-n+（-2）-n+1，则a1+a2+…+an=.　　解析：因为a1+…+an=[13+（13）2+…+（13）n]+[1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n-1]　　=13（1-（13）n）1-13+1-（-12）n1-（-12）　　=12-12（13）n+23-23（-12）n，　　点评：在求解数列的和时，需要把数列分成两组数列，利用整体思想，分别构成等比数列，利用等比数列的求和公式求得结果.　　三、整体转化　　把求解的过程作为一个整体，寓整体于转化之中.　　例4（潮州市2013届高三上学期期末）等比数列{an}中a1=512，公比q=-12，记

4、∏n=a1×a2×…×an（即∏n表示数列{an}的前n项之积），∏8，∏9，∏10，∏11中值为正数的个数是.　　解析：等比数列{an}中a1>0，公比q<0，故奇数项为正数，偶数项为负数.　　∴∏110，∏8>0.　　点评：解决本题需要根据等比数列的性质与已知条件，奇数项是负值，偶数项是正数，再结合∏n的新定义，确定数列的项数从而解决问题.　　四、整体换元　　把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略.5　　例5（上海金山区2013届高三一模）已知数列{an}满足a1=-67，1+a1+a2+…+an-λan+1=0（其中λ≠0且λ≠-

5、1，n∈N*）.求数列{an}的通项公式an；　　解：由题意1+a1+a2+…+an-λan+1=0，可得：　　1+a1+a2+…+an-1-λan=0（n≥2），所以有　　（1+λ）an-λan+1=0（n≥2），又λ≠0，λ≠-1，　　得到：an+1=1+λλan（n≥2），故数列{an}从第二项起是等比数列.　　又因为a2=17λ，所以n≥2时，an=17λ（1+λλ）n-2　　所以数列{an}的通项an=-67n=1，17λ（1+λλ）n-2n≥2.　　点评：解决本题的关键是利用整体换元的思想，根据已知条件得到相邻项的代数式，两式相减即可得到数列的规律，再利用

6、等比数列的定义求得通项公式.　　五、整体构造　　把局部构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举.　　例6已知函数f（n）=n2（当n是奇数时）　　-n2（当n是偶数时），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014=.　　解析：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，需注意对通项公式和问题灵活变形.当n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，　　当n为偶数时，an=f（n）+f（n+1）=-n2+（n+1）2=2n+1，所以an=（-1）n（2n+1），5　　∴an+an+1=2（n是奇数）　　∴a1+a

7、2+a3+…+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）=2+2+2+…+2=2014　　点评：本题的求解还是体现了解决问题的整体思想，先通过研究数列奇数项与偶数项的通项公式，利用相邻两项的和是定值，利用整体思想解决问题.　　跟踪训练题：　　1.等差数列{an}中，如果a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，数列{an}前9项的和为.　　2.设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的项为.　　3.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数