第六单元平面向量共线的坐标表示

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1、第六单元平面向量共线的坐标表示三维目标1、通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法。理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示。2、引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体。3、在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。重点难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解。教学过程导入新课思路向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联。那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要

2、的关系。关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b，λa的坐标表示吗?②如图1，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1，y2-y1)的P点吗?标出点P后，你能总结出什么结论?活动教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤。可得：图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=

3、(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)。同理a-b=(x1-x2，y1-y2)。又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j。∴λa=(λx1，λy1)。教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A与坐标原点O重合，则平移后的B点位置就是P点。向量的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。学生通过平移也可以发

4、现：向量的模与向量的模是相等的。由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：

5、

6、=

7、

8、=。教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获。讨论结果：①能。②=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)。结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么是向量a、b共线的什么条件?活动教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系。此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=

9、(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0。我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a=λb。如果用坐标表示，可写为(x1，y1)=λ(x2，y2)，即消去λ后得x1y2-x2y1=0。这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线。又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的，但这与是不等价的。因为当x1=x2=0时，x1y2-x2y1=0成立，但均无意义。因此是向量a、b共线的充分不必要条件。由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点。讨论结果①x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线。②充

10、分不必要条件。提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动教师引导推证：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠a，由a=λb，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，得x1y2-x2y1=0。讨论结果a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0。教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0。2°充要条件不能写成(∵x1、x2有可能为0)。3°从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b≠0)应用示例例1已知a=

11、(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标。活动本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论。若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化。可由学生自己完成。解：a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5);a-b=(2，1)-(-3，4)=(5，-3);3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)=(6，3)+(-12，16)=(-6，19)。