微积分是算术

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1、微积分是算术林群（linq@lsec．cc．ac．cn）序——等式微积分微积分压倒一切的任务就是两个算术运算：求函数的导数以及求导数的积分，相应于除法以及加法．由多项式（甚或）开始，那么进入微积分可以通过等式（简称等式微积分）无须不等式．微积分一下雾散天晴了！一唱雄鸡天下白这对多数人就够了，知足了．剩下只是复制到更一般的函数．这里前者（多项式）才是原作或酵母，后者只是推广或发酵．于是，我们有了各种函数的微积分．简言之，我们的秘密就是建立等式微积分，首先对原件进行，然后再将这个过程由原件复制到各种函数上．复印机27这个序言则是通过推开等式微积分的窗口．序幕：的微积分导数微积分之首是导数，擒贼先

2、擒首，先回答一个函数的导数是什么．但裸例才能凸显理论、揭秘真相，所以首先考察．为了对比，先看整数相除若四舍五入，右边剩下整数9，大大简化了除法．再回到，它的导数就是做除法由一步简单代数（0-1）别看这一小步，要解读这一等式，需要一点哲学或数学的思考，甚或产生新概念：1.右边分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前一项(不含因子,本例中为)只由左边函数决定，在区间对任一和上有定义，称为的区间导数，记．这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-1），即使（无论多大），也照样定义有导数（即区间导数）！注1以上宣称分解式（0-1)是唯一的，因为若有其它分解：,即2

3、7（对任意），则（对任意）注意这是的一次多项式，于是.2.下一步，当区间退化到端点，或者说当退化为0，这时区间导数就回到传统的“点态导数”．由（0-1）看到平均速度如何逐渐过渡到瞬时速度．我们用区间导数，纯代数的概念，代替“点态导数”只是为了远离极限．也参看张景中的《直来直去的微积分》（科学出版社，2010），以及Yang,Livshits,Range,Dovermann,Karcher与Leger.等.3.区间导数可用来表示的函数值在区间上的变化：（0-2）下段将看到，当大区间分割为若干小区间如时，对后者用区间导数表示将更方便．所以，一个分解式，（0-1），可有多种解读．有了导数做平台，再

4、求导数的积分(需要耐心的读者)如果说，按（0-2），导数表示函数值在较小区间上的较小变化，那么，积分就是函数值在大区间上的总变化,．它们之间的联系基于大区间可分割为段子区间以及函数值的总变化也随之分解为个较小变化：那么这些较小变化又方便地被表示为个区间导数，：或（0-3）余项含有因子，依赖于区间．左边的求和太长，右边简化了！跟（0-1）对比，可以复制那里的哲学或数学的思考，甚或产生新概念：1.上式右边也分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前项(不含因子,本例中为)只由左边的导数决定，称为在27函数区间上的积分．这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-3

5、），即使（无论多大），,也照样定义有积分！2.下一步，当分割加密（或减小或增大），（0-3）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，，称为传统意义下的积分（即无限和或的面积），．这个过程表示为所期望的结果（0-4）即微积分基本公式．一开始知道来龙去脉就够了．有几个特点：一是简单（才能用等式），且全过程可以复制到多项式上（见第一篇（1-6））；二是常用，如爱因斯坦甚至只用一个二次式（）描述他的相对论(Range补充了伽利略的自由落体运动)；三是多项式不涉及无理数，根据伍鸿熙假设：中学数学是有理数的数学，所以多项式的微积分是理想的中学教材．现在有了多项式的微积分，对中学就够了（刘嘉荃认为中学用得最多也

6、就是多项式表示的导数与积分），这就解了当务之急！梦想成真：中学微积分2727小结或的两种算术运算（求导数以及求导数的积分）归结到两条等式或恒等式，（0-1）（0-3），或（1-5）（1-6）．它们凸显了微积分的全过程，懂得它们也就懂了全书，所以这两条代数式怎么强调也不过分.再极端点说：忘掉一切也不可忘了这两条代数式，27它们是本书唯一需要用心之处，必须渗入血液和骨头．精通了它们也就胸有成竹，其它部分一扫而过！序是全书的脸面.我们用心良苦，用心良苦也是得意之处，就是策划了这么一个实物样本（），使微积分的概念完全由等式解读！知足常乐，知足常乐中学生或一般读者到此收兵止步．第一篇等式的微积分将微积

7、分看作一场大戏，有不同的角色．一个函数，作为一个角色，演出一场戏．不同的函数，作为不同的角色，演出各自的戏．接着序幕，我们进入第一幕：的微积分将基本等式，（0-1）（0-3），由原件复制到．这一复制只需要耐心．1.：（1-1）余项，的二次多项式，依赖于区间．利用上面的区间导数与求和法（0-3）求积分：27或．……（1-2）余项，的二次多项式，依赖于区间．左边的求和太长，右边简化了！这一步只是纯代数，无需传统假