《微积分是算术》全文

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1、微积分是算术　　　　林群（linq@lsec．cc．ac．cn）　　　　序　——等式微积分　　　微积分压倒一切的任务就是两个算术运算：求函数的导数以及求导数的积分，相应于除法以及加法．　由多项式（甚或）开始，那么进入微积分可以通过等式（简称等式微积分）无须不等式．微积分一下雾散天晴了！　　一唱雄鸡天下白　　这对多数人就够了，知足了．剩下只是复制到更一般的函数．这里前者（多项式）才是原作或酵母，后者只是推广或发酵．于是，我们有了各种函数的微积分．　　简言之，我们的秘密就是建立等式微积分，首先对原件进行，然后再将这个过程由原件复制到各种函数上．　　　复印

2、机　　　28　　这个序言则是通过推开等式微积分的窗口．　序幕：的微积分　　　　导数　微积分之首是导数，擒贼先擒首，先回答一个函数的导数是什么．但裸例才能凸显理论、揭秘真相，所以首先考察．　　为了对比，先看整数相除　　　　若四舍五入，右边剩下整数9，大大简化了除法．　　　再回到，它的导数就是做除法　　　由一步简单代数　（0-1）　　别看这一小步，要解读这一等式，需要一点哲学或数学的思考，甚或产生新概念：　　　1.右边分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前一项(不含因子,本例中为)只由左边函数决定，在区间　　　对任一和　上有定义

3、，称为的区间导数，记　．　　　这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-1），即使（无论多大），也照样定义有导数（即区间导数）！　　　　　注1以上宣称分解式（0-1)是唯一的，因为若有其它分解：,即28　　（对任意），则（对任意）注意这是的一次多项式，于是.　　　　2.下一步，当区间退化到端点，或者说当退化为0，这时区间导数就回到传统的“点态导数”．由（0-1）看到平均速度如何逐渐过渡到瞬时速度．我们用区间导数，纯代数的概念，代替“点态导数”只是为了远离极限．也参看张景中的《直来直去的微积分》（科学出版社，2010），以及Yang,Liv

4、shits,Range,Dovermann,Karcher与Leger.等.　　　3.区间导数可用来表示的函数值在区间上的变化：　　（0-2）　下段将看到，当大区间分割为若干小区间如时，对后者用区间导数表示将更方便．　所以，一个分解式，（0-1），可有多种解读．　　有了导数做平台，再求　　　　　导数的积分(需要耐心的读者)　　如果说，按（0-2），导数表示函数值在较小区间上的较小变化，那么，积分就是函数值在大区间上的总变化,．它们之间的联系基于大区间可分割为段子区间　　　　　以及函数值的总变化也随之分解为个较小变化：　　那么这些较小变化又方便地被表示

5、为个区间导数，：　　　或　（0-3）　余项含有因子，依赖于区间．左边的求和太长，右边简化了！　　　跟（0-1）对比，可以复制那里的哲学或数学的思考，甚或产生新概念：　　1.上式右边也分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前项(不含因子,本例中为)只由左边的导数决定，称为在28　　函数区间上的积分．　　　这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-3），即使（无论多大），,也照样定义有积分！　2.下一步，当分割加密（或减小或增大），（0-3）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，，称为传统意义下的积分（即无限和或的面积），

6、．这个过程表示为所期望的结果　（0-4）　　即微积分基本公式．　　　一开始知道来龙去脉就够了．　　　有几个特点：一是简单（才能用等式），且全过程可以复制到多项式上（见第一篇（1-6））；二是常用，如爱因斯坦甚至只用一个二次式（）描述他的相对论(Range补充了伽利略的自由落体运动)；三是多项式不涉及无理数，根据伍鸿熙假设：中学数学是有理数的数学，所以多项式的微积分是理想的中学教材．　现在有了多项式的微积分，对中学就够了（刘嘉荃认为中学用得最多也就是多项式表示的导数与积分），这就解了当务之急！　　　　　梦想成真：中学微积分　　28　　28　　　　小结　

7、或的两种算术运算（求导数以及求导数的积分）归结到　　两条等式　或恒等式，（0-1）（0-3），或（1-5）（1-6）．它们凸显了微积分的全过程，懂得它们也就懂了全书，所以这两条代数式怎么强调也不过分.再极端点说：28　　忘掉一切也不可忘了这两条代数式，它们是本书唯一需要用心之处，必须渗入血液和骨头．精通了它们也就胸有成竹，其它部分一扫而过！　　　　序是全书的脸面.我们用心良苦，　　　　用心良苦　也是得意之处，就是策划了这么一个实物样本（），使微积分的概念完全由等式解读！　　　知足常乐，　　　　　　知足常乐　　中学生或一般读者到此收兵止步．　　　　　第

8、一篇等式的微积分　　将微积分看作一场大戏，有不同的角色．一个函数，作为一个角色，演出一场戏．不同的函数，作为