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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划证明合同变换是线性变换(共2篇) 第七章线性变换 3．在P[x]中，Af(x)?f?(x)，Bf(x)?xf(x)，证明： AB?BA=?E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取f(x)?P[x]，则有 =(AB?BA)f(x)?ABf(x)?BAf(x)?A(xf(x))?B(f?(x)) ?(xf(x))??xf?(x)?f(x)?Ef(x)， ?E．于是AB?BA= ?E，证明：4．设A,B是线性变换，如果AB?BA= Ak
2、B?BAk?kA 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． k?1 ,k?1． ?E，可得证明当k?2时，由于AB?BA= A2B?BA2?A(AB?BA)?(AB?BA)A?2A， 因此结论成立． s 假设当k?s时结论成立，即AB?BA s ?sA目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 s?1 ．那么，当k?s?1时，有 A s?1 B?BA
3、s?1 ?A(AsB?BAs)?(AB?BA)As?sAs?As?(s?1)As， 即对k?s?1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k?1结论都成立．『特别提醒』由A ?E可知，结论对k?1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的?,??V，如果A??A?，那么，用A作用左右两边，得到??A ?1 ?1 (A?)?A?1(A?)??，因此A是单射；另外，对于任意的??V，存在 ??A?1??V，使得A??A(A?1?)??，即A是满射．于是A是
4、双射．目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A?1,A?2,?,A?n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k1A?1?k2A?2???knA?n?0，即 A(k1?1?k2?2???kn?n)?0． 而
5、根据上一题结论可知A是单射，故必有k1?1?k2?2???kn?n?0，又由于?1,?2,?,?n是线性无关的，因此k1?k2???kn?0．从而A?1,A?2,?,A?n线性无关． 反之，若A?1,A?2,?,A?n是线性无关的，那么A?1,A?2,?,A?n也是V的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A?i)??i，i?1,2,?,n．显然 BA(?i)??i，AB(A?i)?A?i，i?1,2,?,n． 再根据教材中的定理1知，AB?BA?E．所以A是可逆的． 证法2设A在基?1,?2,?,?n下的矩阵为A，即 A(?1,?2,
6、?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1,?2,?,?n)A． 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A?1,A?2,?,A?n也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果A?1,A?2,?,A?n是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基?1,?2,?,?n到 A?1
7、,A?2,?,A?n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为 ?a11 ?A??a21 ?a?31 1）求A在基?3,?2,?1下的矩阵； a12a22a32 a13??a23?．a33?? 2）求A在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中k?P且k?0；3）求A在基?1??2,?2,?3下的矩阵． 『解
