计数原理与概率学生

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1、德智教育中小学生会员制学习成长俱乐部计数原理与概率排列组合1.定义、公式      排列与排列数       组合与组合数定义1.排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。1.组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。公式排列数公

2、式组合数公式性质(1)(2)备注             排列组合常见问题及解法  一、分析题意明确是分类问题还是分步问题,是排列还是组合问题  5.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出下列各类数的个数:  (1)奇数;(2)5的倍数;(3)比20300大的数;(4)不含数字0,且1,2不相邻的数。  【思路点拨】  (1)确定个位数为奇数,然后确定万位数,然后排列中间的3个位置,即可。  (2)比20300大的数,按照万位、千位、百位,分别求出满足题目的数目即可。  (3)不相邻问题采用插空法解决。  【解析】  (1)要得到一个5位数的奇数,分成

3、3步,    第一步考虑个位必须是奇数,从1,3,5中选出一个数排列个位的位置上有种;    第二步考虑首位不能是0,从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种;    第三步:从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上有种,    由乘法原理共有(个)。  (2)按0作不作个位来分类    第一类:0作个位,则有;    第二类:0不作个位即5作个位,则。    则共有这样的数为:(个)。  (3)比20300大的五位数可分为三类:    第一类:3xxxx,4xxxx,5xxxx,有个;    第二类:21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,有个;   

4、 第三类:203xx,204xx,205xx,有个,    因此,比20300大的五位数共有:(个)。  (4)不含数字0且1,2不相邻的数分两步完成:    第一步:将3,4,5三个数字排成一行;    第二步:将1和2插入四个“空”中的两个位置,    故共有个不含数字0,且1和2不相邻的五位数。  【总结升华】  计数原理的应用问题,采用特殊位置优先考虑的原则,注意分类与分步计数原理的应用,考查计算能力。  【变式1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法?          

5、       答案与解析  【解析】  (1)从M到N必须向上走3步,向右走5步,共走8步;  (2)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法;  (3)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。  从而,任务可叙述为:从8个步骤中选出哪3步是向上走,或者选出哪5步是向右走,就可以确定走法数,  ∴从M到N不同的走法种数为:,或。  【变式2】从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有____。  (A)240   (B)180   (C)120   (D)60答案与解析  【答案】  分步解决:  (一)从6双中选出一双同色的手套,有种方法;  (二)从剩

6、下的十只手套中任选一只,有种方法;  (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有种方法;  (四)由于选取与顺序无关,因而(二)(三)中的选法重复一次;   因而共  【变式3】现有印着0,l,3,5,7,9的六张卡片,如果允许9可以作6用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?答案与解析  【答案】  抽出的三个数中有9的话才可能用6替换,因而必须分类。  抽出的三数含0,含9,有种方法:  抽出的三数含0不含9,有种方法  抽出的三数含9不含0,有种方法:  抽出的三数不含9也不含0,有种方法。  又因为数字9可以当6用,  因此共有种方法。第12页共

7、12页德智教育中小学生会员制学习成长俱乐部二、特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑  6.五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数:  (1)甲必须在排头;  (2)甲必须在排头,并且乙在排尾;  (3)甲、乙必须在两端;  (4)甲不在排头,并且乙不在排尾;  (5)甲、乙不在两端;  (6)甲在乙前;  (7)甲在乙前,并且乙在丙前;三、捆绑与插空  7.8人排成一队  (1)甲乙必须相邻  (2)甲乙不相邻  (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻   (4)甲乙必须相邻,丙

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