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1、摘要在初等数学中，证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、判别式法、换元法、数学归纳法等等，但是所用的都是初等数学知识。本文利用高等数学中的有关知识，给出几种不等式的证明方法：单调性，辅助函数，凹凸性，中值定理，最值、极值定理，泰勒公式，定积分性质，柯西施瓦茨。关键词不等式高等数学中值定理泰勒公式柯西施瓦茨xiiAbstractIntheelementarymathematics,Commonmethodsusedonproofofinequalityarecomparation,synthesis,analysis,neg
2、ativeapproach,discriminantlaw,substitutionofvariables,mathematicalinductionandsoon,Allofthembelongtoelementarymathematicsknowledge.Inthisarticlebasedonhighermathematics,Somemethodstoproveinequalityhavebeengiven:monotonicity,auxiliaryfunction,convex-concave,valuetheorem,extreme
3、value、extremevaluetheorem,taylorformula,definiteintegral,cauchyschwartz.Keywordsinequalityhighermathematicsvaluetheoremtaylorformulacauchyschwartzxii目录1、引言…………………………………………………………………………12、利用函数的单调性证明不等式……………………………………………13、利用函数的凹凸性证明不等式……………………………………………24、利用拉格朗日中值定理证明不等式…………………………
4、……………25、利用函数的最值、极值定理证明不等式…………………………………36、利用泰勒公式证明不等式…………………………………………………47、利用定积分的性质证明不等式……………………………………………58、利用柯西不等式证明不等式………………………………………………5参考文献……………………………………………………………………6xii浅议不等式的证明1引言用不等号连接起来的两个解析式所成的式子叫不等式，证明不等式就是根据不等式的性质证明对于式中字母所容许的数值，不等式恒成立．不等式证明在中学里占有重要的地位，是进一步学习数学的基础，例如在讨
5、论方程或方程组的解中，研究函数的定义域、值域、单调性、最值等问题中都要用到．然而，不等式证明又是中学里的一个重点、难点．其特点是方法灵活多样，技巧性很强，这使得它成为高考中的一个热门问题．证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中，常用的方法有比较法、综合分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、判别式法、换元法等等．然而，现在高中课本中又增加了一些高等数学知识，我们思考能否用高等数学中的有关知识来证明某些使用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式，使之过程更加简洁、易懂，答案是肯定的，因此讨论高等数学知识在某些初等数学不等式中的应用是非
6、常重要的，同时初等数学中的许多问题往往蕴含着高等数学中的一些方法，因而将高等数学中的某些原理、方法应用于初等数学中的证明，不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻就熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系．本文着重阐述了用高等数学中的有关知识来证明某些初等不等式，使之用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式得到解决．高等方法主要适用于中学里的函数不等式．2利用函数、辅助函数的单调性证明不等式2.1函数单调性证明定理1[1]若函数在区间内可导，则在内递增（递减）的充要条件是，不
7、等式与函数有着密切的关系，因此，根据求证的不等式构造函数，利用函数的单调性可巧证一些不等式，此方法尤其适用于中学里的函数不等式的证明．xii例2.1.1证明：当时，.证明：设，，所以当时，，也即，故.2.2辅助函数单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。例2.2.1试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。 解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1
8、)2，易知f(1)=0。 又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0,f″(x)=2lnx+1+1x2,f″
