2.2.2.1椭圆地简单几何性质

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1、实用标准文案2．2.2　椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．

2、(1)椭圆的简单几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

3、F1F2

4、＝2c精彩文档实用标准文案对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0

5、2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，

6、OP

7、取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，

8、OP

9、取得最大值a，这时P位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点

10、所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．第一课时　椭圆的简单几何性质椭圆的简单的几何性质　　[例1]　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[思路点拨]　化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质．[精解详析]　将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为

11、2a＝6,2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，精彩文档实用标准文案离心率e＝＝.[一点通]　已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝＝，∴e＝

12、＝.答案：A2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1.∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为精彩文档实用标准文案A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，).利用椭圆的几何性质求标准方程　　[例2]　求适合下列条件的椭圆的标

13、准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨]　解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.[精解详析]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2

14、的中线(高)，且

15、OF

16、＝c，

17、A1A2

18、＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.[一点通]　利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由题意2a