高考理科数学总复习——真题试题分类汇编之函数与导数(含详解)

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1、高考理科数学总复习——真题试题分类汇编之函数与导数(含详解)1.(北京)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 f(x)=sinx .【解答】解:例如f(x)=sinx,尽管f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,当x∈[0,)上为增函数,在(,2]为减函数,故答案为:f(x)=sinx.2.(北京)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x

2、)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex.由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,解得a=1;(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex,若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减.x=2处f(x)取得极大值,不符题意;若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增,无极值;若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增,可得f(x)在

3、x=2处取得极小值;若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;第20页共20页若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意.综上可得,a的范围是(,+∞).3.(江苏)函数f(x)=的定义域为 [2,+∞) .【解答】解:由题意得:≥1,解得:x≥2,∴函数f(x)的定义域是[2,+∞).故答案为:[2,+∞).4.(江苏)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为  .【

4、解答】解:由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数,则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=

5、﹣1+

6、=,f()=cos()=cos=,即f(f(15))=,故答案为:5.(江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 .【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没

7、有零点,舍去;②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,又f(x)只有一个零点,∴f()=﹣+1=0,解得a=3,f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣1,1],f′(x)>0的解集为(﹣1,0),第20页共20页f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减;f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣4,f(x)max=f(0)=1,∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:f(x)max+f(x)min=﹣4+1=﹣3.6.(江苏)记f′(x),g′

8、(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2,则由定义得,得方程无解,则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存

9、在“S点”;(2)f′(x)=2ax,g′(x)=,x>0,由f′(x)=g′(x)得=2ax,得x=,f()=﹣=g()=﹣lna2,得a=;(3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=﹣>0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣,得a=x02﹣,令h(x)=x2﹣﹣a=,(a>0,0<x<1),设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>0,0<x<1),第2

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