镜像法在特殊角域中的应用

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1、数学物理方程学院名称：理学院班级：数学101学号：201000134102姓名：李真真2013年12月12日-13-镜像法在特殊角域中的应用摘要镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些看来难解的静电场边值问题较容易地得到解决。镜像法是在待求场域的区域之外,在适当的位置上人为地设置一些点电荷来等效原边界面上复杂分布的实际电荷对待求域的作用,从而在保持原边界条件不变的情况下,将原边界面移去,这样就把求解有限区域的边值问题转换为无边界的无限大均匀媒质中的求解问题,这些人为设置的等效电荷称为镜像电荷。镜像法的关键是寻找合适的镜像电荷,确定镜像电荷的理论根据是唯一性

2、定理,即：一是场的解在原区域满足的方程(泊松方程或拉普拉斯方程)不变,亦即要保持待求场区域原有电荷分布不变,故镜像电荷只能设置在待求场域之外,二是镜像电荷个数、位置、大小和符号的确定应以使问题简化,并保持原问题边界条件不变为依据。关键词：镜像法角域边值问题唯一性定理镜像电荷-13-我们知道，在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace'sequation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，且用Poisson'sequation求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。解决这类问

3、题的一种特殊方法--称为镜象法。1、镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。2、镜象法的理论基础镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对

4、场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation和边界条件决定。这里要注意几点：a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson'sequationorLaplace'sequation-13-。因此，在所研究的场域内不可放置象的电荷，也就是说，象电荷必须放在研究的场域外。b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电

5、常数。c)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。d)镜象法所适应的范围是：①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。 3、镜象法的具体应用用镜象法解题大致可按以下步骤进行：1)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；2)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；3)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；4)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等下面我们举例说明镜像法在特殊角域中的应用：

6、（1）导体平面的镜像例:在无限大的接地导电平面上方处有一个点电荷，如图1所示，求导电平板上方空间的电位分布。-13-解：建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为；场区的源是电量为位于点的点电荷，边界为面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为面上电位为零。图1　导电平面上方的点电荷图2　点电荷的镜像电荷导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷和，分别位于和点，使得面的电位为零，如图2。这种情况，对于的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况区

7、域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对区域的场来说，后一种情况位于点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。现在回到