华罗庚学校五年级数学(上册）教材（第1-8讲，共15讲）

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1、本系列共15讲第一讲数的整除问题.一．基本概念和知识1．整除——约数和倍数一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。2．数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积

2、能整除a。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。3．数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。②能被5整除的数的特征：个位是0或5。③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之

3、差（以大减小）能被7（11或13）整除。二．例题例1：已知45︱1993yx，求所有满足条件的六位数1993。yx解：∵45=5×9，∴根据整除“性质2”可知y5︱1993x，9︱1993，yx∴y可取0或5。当y=0时，根据9︱当y=5时，根据9︱1993yxy1993x及数的整除特征③可知x=5；及数的整除特征③可知x=9。∴满足条件的六位数是519930或919935。例2：李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：∵9□.2□元=9□2□分28=4×7∴根据整除“性质2”可知

4、4和7均可能整除9□2□。4︱2□，可知□处只能填0或4或8。因为7不能整除9020，7不能整除9424，所以□处不能填0和4；因为7︱9828，所以□处应该填8。又因为9828分=98.28元所以98.28÷28=3.51（元）答：每支钢笔3.51元。例3：已知整数12345aaaaa能被11整除，求所有满足这个条件的整数。解：∵11︱12345，aaaaa∴根据能被11整除的数的特征可知：1＋2＋3＋4＋5的和与5a之差应是11的倍数，即：11︱（15－5a），或11︱（5a－15）。但是15－5a=5（3－a），5a－15=5(a－3)，又（5，11）=

5、1，因此11︱(3－a)或11︱(a－3).又∵a是数位上的数字，∴a只能取0～9，所以只有a=3才能11︱（3－a）或11︱（a－3）。即当a=3时，11︱15－5a。∴符合题意的整数只有1323334353。例4：把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3，所ab得的数33...3ababab(1993个3)ab恰是91的倍数，求=？ab解：∵91=7×13，且（7，13）=1，∴7能整除33...3ababab，13能整除33...3。ababab根据一个数能被7或13整除的特征可知：原数33...3ababab能被7以及13整除，当且仅当3

6、...3abab（1992组3ab）－3ab能被7以及13整除，也就是3...3000（1991组）能被7以及13整除。abab因为（7，10）=1，（13，10）=1，所以7能整除3...3000（1991abab组），13能整除3...3000（1991组），也就是7能整除3...3（1991abab组），13能整除3...3abababab（1991组），因此，用一次性质（特征），就去掉了两组3ab；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除。又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位

7、数字是3，∴3=364，∴=64。abab例5：在865后面被上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。分析设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应该满足以下三个条件：第一，数字和（8＋6＋5＋a＋b＋c）是3的倍数；第二，末两位数字组成的两位数是4的倍数；bc第三，末位数字c是0或5。因为能被4整除的数的个位数字不可能是5，所以，c只能取0，因而b只能取自0，2，4，6，8中之一。又因为3︱8650，且（8＋6＋5）除以3余1，ab所以a＋b除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”

8、，只需取a=0,b=2.