弦切角定理证明及例题

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1、弦切角定理弦切角定义　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角    ∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）弦切角定理　　弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，　　则∠TCB=∠CDA　　∵∠TCB=90-∠OCD　　∵∠BOC=180-2∠OCD　　  更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）　　∵∠BOC=2∠CAB　　∴∠TCB=∠CAB（弦切角的

2、度数等于它所夹的弧的圆周角）　　证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.　　求证：.（弦切角定理）　　证明：分三种情况：　　    （1）　圆心O在∠BAC的一边AC上　　∵AC为直径，AB切⊙O于A，　　∴弧CmA=弧CA　　∵为半圆,　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角　　  B点应在A点左侧（2）　圆心O在∠BAC的内部.　　过A作直径AD交⊙O于D,　　若在优弧m所对的劣弧上有一点E　　那么，连接EC、ED、EA　　则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB　　∴∠CEA=∠CAB　　∴（弦切角定

3、理）　　    （3）　圆心O在∠BAC的外部,　　过A作直径AD交⊙O于D　　那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90　　∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例　　    例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.　　解：连结OA，OB.　　∵在中,∠C=90　　∴∠BAC=30°　　∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）　　    例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与B

4、C切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.　　求证：EF∥BC.　　证明：连DF.　　AD是∠BAC的平分线　∠BAD=∠DAC　　∠EFD=∠BAD　　∠EFD=∠DAC　　⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC　　∠EFD=∠FDC　　EF∥BC　　    例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，　　求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.　　证明：∵AB是⊙O直径　　∴∠ACB=90　　∵CD⊥AB　　∴∠ACD=∠B，　　　∵MN切⊙O于C　　∴∠MCA=∠B，　　∴∠MCA=∠ACD，　　即AC平分∠MCD

5、，　　同理：BC平分∠NCD.