中西校-高二-空间向量及其运算

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1、第三章复习课:空间向量与立体几何（1）教学目标重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面平行和垂直关系并能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能利用向量求点到平面的距离．难点：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补．易错点：忽视异面直线所成角的范围.教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．自主探

2、究点：利用不同的方法判断直线和平面平行的位置关系；能根据平面的法向量所成的角准确判断二面角的大小；基向量法的熟练应用.考试点:用向量方法证明直线和平面间的位置关系；用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题；空间中点到平面的距离问题．空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量以及平面的法向量的概念利用向量证明空间中的平行关系利用向量求空间中的角异面直线所成的角直线与平面所成的角直线与直线平行直线与平面平行二面角的平面角利用向量证明空间中的垂直关系直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面

3、与平面平行利用向量求点到平面的距离一、【知识结构】二、【知识梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量的概念（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．（2）平面的法向量：l是平面的一条垂线，则l的方向向量就是平面的一个法向量．平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔∥．(2)设

4、直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则l∥或l⊂⇔存在两个实数x，y，使＝x＋y．(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥．(4)设平面α和β的法向量分别为和，则α∥β⇔∥．3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⇔⊥⇔＝0．(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l⊥⇔∥．(3)设平面和的法向量分别为和，则⊥⇔⊥，⇔＝0．4．用向量求空间中的角(1)异面直线所成的角设异面直线l1，l2的方向向量分别为和，则l1与l2的夹角θ满足

5、cosθ＝．(2)平面的斜线和平面所成的角如图1，设直线l的方向向量和平面的法向量分别为，，则直线l与平面的夹角θ满足sinθ＝=．图1图2(3)二面角的平面角(i)如图2，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝,．(ii)如图3或图4，，分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足图5cosθ＝cos〈,〉或cosθ＝－cos〈,〉．图4图35．点到直线的距离的求法（了解）如图5，设MN为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则M到平面α的距离d＝,就是斜线段在

6、法向量方向上的正投影,由得距离公式：d＝．三、【范例导航】例1已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．【分析】设，是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求平面的法向量的方程组为，向量方向的单位向量为．【解答】设平面ABC的法向量＝．由得令z＝1，得∴＝，又∴平面ABC的单位法向量为＝．【点评】方程组中含有一个自由未知数，若令z为自由未知量，给z任意赋一个非零的值都可以得到平面的一个法向量，这些向量是共线向量．变式训练:１．已知平面过点，平面的法向量为，则下列点在内的是（　

7、）A．　　B．　　C．　　D．答案：若点在内，则,代入经验证答案A满足．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1．答案：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，若D1M⊥平面EFB1，则只需向量是平面EFB1的法向量即可，设正方体棱长为2，则，，，，设，则，，，由D1M⊥平面EFB1，则，解得：所以当点M是BB1的中点时，满足D1M⊥平面EFB1．例2如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．求证：平面．【分析】利用

8、向量作为工具证明线面平行问题可以选择的方法较多，可以用共线向量定理，找平面内的与已知直线平行的直线；也可以利用共面向量定理证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面；还可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明直线与平面平行．【证明一】记，则，，共面．又平面，∥平面．【证明二】以,,为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，,,，．