圆锥曲线巧算方法

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1、减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在面积为1的ΔPMN中，∠=,∠,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆

2、方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为，则由椭圆定义有，，过点向轴作垂线，垂足为，∠，∠。由平面几何知识有:,，，，。所求的椭圆方程为说明：在上述解题过程中，是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。17例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线=2py(a≥2p>0)上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选

3、题）。图2分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值，所以点C到准线的距离取得最小值。解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、

4、BF。由抛物线的定义，，且≥a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是a.说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为，所以抛物线的定长弦的长度大于等于时，本例的上述解法才成立，如果时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。设AB所在直线方程为，将它代入抛物线方程，得：，∴，∴∴，∴，故点C到准线的距离为。所以这时圆C的最小半径为例3、设是曲线上三点，求证：△的垂心也在该曲线上。分析：证垂心在曲

5、线上，故只需求之值，而无需求、。解：、、。则从而知同理，17故有，并消去得：一、设而不求，整体运算在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例4、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：

6、OP

7、2+

8、OQ

9、2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，得（3）代入（4）得，（1）+（2）得。（2）设P、Q的中点M的坐标为M，

10、则有，，（1）+（2）+（3）得，。即：，中点M的轨迹方程为二、充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例5、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。图3解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆17切于点，切点在，，故∠=∠，从而∠=∠，、、共线。由切割线定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推

11、导出例6、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角△，、在圆上。求的中点M的轨迹方程。图4解：如图所示，设，连结在△中，是的中点，⊥，。在△中，。。。点的轨迹方程为。说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。一、用“降维法”减少计算量变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需

12、两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。例7、已知；直线和曲线交于、两点，是这条直线上的点，且。求当变化时，点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题）解：设、、在轴上的射影分别是、、，，，这里是直线的倾斜角，。，，