中值定理与导数的应用(2)

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1、第三章中值定理与导数的应用第一节　微分中值定理导数的应用是微分学的重点内容和最终目的，可以说，前几章的内容都围绕着这部分内容展开的，为了将导数的概念和计算方法等知识更好地应用到具体问题中，我们必须建立二者相互联系的桥梁和纽带，它们就是微分中值定理．一、罗尔定理罗尔定理　如果函数在上连续，在内可导，且在区间端点的函数值相等即，那么在开区间内至少存在一点，使得图3-1．首先，我们来分析一下定理的几何意义，函数在上连续、在内可导说明了函数的图形是一条连续的曲线（设为），并且除端点外处处具有不垂直于轴的切线，表明函数在端点处的函数值相等．定理的结论表示：在连续曲线弧上至

2、少有一点，该点处曲线的切线是水平的（如图3-1）．证　因函数在上连续，由连续函数的最大值和最小值定理知，函数在上必有最大值和最小值，这样有两种可能：（1）如果，因为，所以在闭区间上必恒等于常数，其导数在该区间内也为零，即任取内每一点作为，都有．（2）如果，因为，则和至少有一个不在端点处取得，不妨设（如设证法类似），那么在内至少存在一点使．下面我们来证明在点处的导数等于零，即．因为，根据假设可知存在，即极限存在，而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此，由于是在的最大值，因此不论还是，只要在上，总有，即．当时，有，从而，根据函数极限的性质有，同理，当时，有，相

3、应地有90．因此必然有．例1　不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在区间．解　显然，在区间、上满足罗尔定理的条件，所以至少存在点和使得，，即方程至少有两个实根，又因为是一个一元二次方程，最多有两个实根，所以方程有两个实根，且分别在和内．一、拉格朗日中值定理　罗尔定理中的条件是比较特殊的，一般的函数很难满足这个条件，这样就大大限制了罗尔定理的应用范围，如果取消这个条件而保持定理另外的两个条件不变，那么结论就要做相应的改变，从而就得到了微分学中的另外一个重要定理，即拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理　如果函数在上连续，在内可导，那么在开区间内至少存在一点

4、，使得（1）图3-2或成立．我们也来分析一下定理的几何意义，根据图3-2，函数在上连续、在内可导，说明函数的图形是一条连续的曲线（设为），并且除端点外处处具有不垂直于轴的切线，而结论中的表示弦的斜率，而为曲线在点处的切线的斜率，因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么在弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦．在上述定理中，若我们令（弦平行于轴），此时有，这说明在弧上至少有一点，该点处的切线平行于轴，实际上也平行于弦，这就是罗尔定理的结论，由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定

5、理的推广．从上述两个定理的关系自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们构造一个与有密切关系且满足罗尔定理条件的函数，然后对函数应用罗尔定理，再把得到的结论转化到上，证得所要的结果．从图3-2中看出，有向线段的值是的函数，把它设为，且有，为求得函数的表达式，设直线的方程为，则，由于点、的纵坐标分别为及，故表示有向线段的值的函数为90．下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．证　引进辅助函数，显然函数满足罗尔定理的条件：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且，根据罗尔定理可知，在内至少存在一点，使，即，

6、由此得，　　即　定理证毕．显然，公式（1）对于仍然成立，（1）叫做拉格朗日中值公式．拉格朗日中值公式有时也可写成另外的形式，如取为内的一点，为内的另外一点（或），则公式（1）在区间（当时）或（当时）上就成为　　　　　　（2）这里数值介于０与１之间，所以就介于和之间，的存在是肯定的，一般它的准确值是不知道的，但这并不影响公式（2）的应用．如果记为，则（2）可写成　　　　　　　　　　　（3）我们知道，函数的微分是函数增量的近似表达式，一般说来，以代替时所产生的误差只有当时才趋于零，而（3）式表示在为有限时增量的准确表达式，因此这个定理也叫做有限增量定理．它在微分学中

7、占有重要地位，有时也叫做微分中值定理．它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在此区间内某点处的导数之间的关系，在某些问题中当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中值定理就显示出了它的价值．拉格朗日中值定理有如下两个重要推论，今后在积分学中要常用到．推论1　设函数在闭区间上连续，在开区间内可导且导数恒为零，则在上有　（为常数）．证　在上任取两点、，并设，应用式（1）可得，由已知条件，故，即．因为、是区间上的任意两点，所以上式表明：在区间90上的函数值总是相等的，即．推论2　如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，，则在上与最多只相差一个常

8、数．证　设，则在闭区间上