考研高等数学强化讲义(第六章)全(3)

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1、新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章第六章多元函数微分学§6.1多元函数的概念、极限与连续性（甲）内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。二元函数的图形为空间一块曲面，它在平面上的投影域就是定义域。例如，二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2．三元函数与

2、元函数，空间一个点集，称为三元函数称为元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设在点的领域内有定义，如果对任意，存在，只要18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章，就有则记以或称当趋于时，的极限存在，极限值为。否则，称为极限不存在。值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本

3、概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若则称在点处连续若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。2．闭区域上连续函数的性质定理1（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界定理2（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值（最大值），（最小值）定理3（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值，若，则存在，使得（乙）典型例题一、求二元函数的定义域（自己阅读）例1．求函数的定义域18新东方在线[w

4、ww.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章解：要求即；又要求即，或，综合上述要求得定义域或例2．求函数的定义域解：要求和即函数定义域在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章二、有关二元复合函数（自己阅读）例1．设，求解：设，解出，代入所给函数化简故例2．设，求解：例3．设，当时，，求函数和解：由条件可知，令，则，三、有关二元函数的极限例1．讨论（常数）解：原式

5、而又18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章例2．讨论解：沿原式沿，原式原式的极限不存在例3．讨论解：（）而；用夹逼定理可知原式§6.2偏导数与全微分（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念1．偏导数二元：设例：，，18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章三元：设；；2．二元函数的二阶偏导数设，，，，当二阶偏导数连续时，3．全微分设，增量若当时则称可微，而全微分定义：，定理：可微情况下，，三元函数全

6、微分18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章4．相互关系例：函数有偏导数是连续的（）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）无关5．方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法——锁链公式模型I：设，，则；模型II：设，，则模型III：设，，则口诀（38）：多元复合求偏导；锁链公式不可忘。思考题：设，，，，求和的锁链公式和图三、隐函数微分法设，确定则；（要求偏导数连续且）口诀（39）：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。四、几何应用（数学一）1．空间

7、曲面上一点处的切平面和法线2．空间曲线上一点处的切线和法平面（乙）典型例题18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章例1．求的偏导数解：，例2．设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定和，求解：由两边对求导，得解出（分子和分母消除公因子）由两边对求导，得解出所以例3．设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求解：分别在两方程两边对求导得18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等

8、数学第六章化简解出例4．设有连续偏导数，由方程所确定，求解一：令，得，，，则用隐函数求导公式得；解二：在两边求微分得解出代入合并化简也得例5．设具有二阶连续偏导数，且满足，18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章，求解：，，故：，所以：例6．已知，确定其中，均有连续偏导数，求证证：，，18新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第六章根据隐函数求导公式则得例7．设，求分析：从