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《高中数学 2.2.1等差数列导学案(含解析)新人教版必修5 (2)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、等差数列第一课时 等差数列目标定位:1.了解等差数列与方程,一次函数的联系。2.理解等差数列的概念。(重点)3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并能运用。(难点)等差数列的定义 [提出问题]1.有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为:16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.2.2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)分别为:48,53,58,63.3.鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,23,23.5,24,24.
2、5,…问题1:上面三组数构成数列吗?提示:构成.问题2:若上面三组数构成数列,试观察它们从2项起,每一项与前一项的差有什么特点?提示:等于同一常数.[导入新知]等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.[化解疑难]1.“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.2.“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须相邻.3.定义中的“同
3、一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.等差中项[提出问题]问题:观察上面三个数列,每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系?提示:前一项与后一项的和是中间项的2倍.[导入新知]等差中项如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关系式是A=.[化解疑难]1.A是a与b的等差中项,则A=或2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一个.2.当2A=a+b时,A是a与b的等差中项.等差数列的通项公式[提出问题]若一等差数列{an}的首项为a1,公差是d.问题
4、1:试用a1、d表示a2、a3、a4.提示:a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d.问题2:由此猜想等差数列的通项公式an.提示:an=a1+(n-1)d.[导入新知]等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d递推公式通项公式an-an-1=d(n≥2)an=a1+(n-1)d(n∈N*)[化解疑难]由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q
5、,等差数列为常数列.等差数列的判定与证明 [例1] 判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中an=3n+2;(2)在数列{an}中an=n2+n.[解] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*).由n的任意性知,这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.[类题通法]定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an
6、是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.[活学活用]1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,问:数列{bn}是否为等差数列?并说明理由.解:数列{bn}是等差数列.理由:∵数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,∴an+1-an=d(n∈N*).∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d.∴根据等差数列的定义,数列{bn}是等差数列.等差数列的通项公式[例2
7、] (1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an.(2)已知数列{an}为等差数列a3=,a7=-,求a15的值.[解] (1)∵a5=10,a12=31,则⇒∴an=-2+(n-1)×3=3n-5∴通项公式an=3n-5.(n∈N*)(2)法一:由得解得a1=,d=-.∴a15=a1+(15-1)d=+14×(-)=-.法二:由a7=a3+(7-3)d,即-=+4d,解得d=-.∴a15=a3+(15-3)d=+12×(-)=-.[类题通法]1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方程的思
8、想.一般地,可由am=a,an=b,得求出a1和d,从而确定通项公式.2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项公式或其他项时,则运用am=an+(m-n)d则较为简捷.[活学活用]2.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几