2016高考数学专题复习导练测 第八章 第6讲 空间向量及其运算 理 新人教a版

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1、第6讲空间向量及其运算一、选择题1.以下四个命题中正确的是(  ).A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=(1,1,x

2、),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=(  ).A.-4B.-2C.4D.2解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.答案 D3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  ).A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b

3、)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  ).A.0    B.C.    D.解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且

4、b

5、=

6、c

7、,·=a·(c-b)=a·c-a·b=

8、a

9、

10、c

11、-

12、a

13、

14、b

15、=0,∴cos〈,〉=0.答案 A5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b

16、,=c,则下列向量中与相等的向量是(  ).A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c解析 =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.答案 A6.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )A.B.C.1D.解析=++,∴

17、

18、2=

19、

20、2+

21、

22、2+

23、

24、2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故

25、

26、=.答案 D二、填空题7.设R,向量,且,则解析.答案8.在空间四边形ABCD中,·+·+·=________.解析 如图,设=a,=b,=c,·+·+·=a·(c-

27、b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0.答案 09.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(++)2=32;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为

28、··

29、.其中正确命题的序号是________.解析由⊥,⊥,⊥⊥,得(++)2=3()2,故①正确;②中-=,由于AB1⊥A1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确;④中

30、··

31、=0.故④也不正确.答案①②10.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=

32、60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________.解析 设=a,=b,=c.OA与BC所成的角为θ,·=a(c-b)=a·c-a·b=a·(a+)-a·(a+)=a2+a·-a2-a·=24-16.∴cosθ===.答案 三、解答题11.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3,∴-=(-)+(-),即=+=--,∴,,共面.(2)由(1)知,,,共面且基线过同一点M,∴四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.12.把边

33、长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求:(1)EF的长;(2)折起后∠EOF的大小.解如图,以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,-a,a),F(a,a,0).(1)

34、

35、2=2+2+2=a2,∴

36、EF

37、=a.(2)=,=,·=0×a+×+a×0=-,

38、

39、=,

40、

41、=,cos〈,〉==-,∴∠EOF=120°.13.如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶G

42、A=1∶3.求证:B、G、N三点共线.证明 设=a,=b,=c,则

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