中考数学第二轮复习_专题讲解_几何应用题

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1、九．几何应用题几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。一、三角形在实际问题中的应用例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90º，AC=80米，BC=60米。（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；

2、（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。在Rt△ABC中，AB=（米）。∴CE=AB=×100=

3、50（米）。即从入口E到出口C的最短路线的长为50米。（3）当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。∵CD•AB=AC•BC，∴CD=米）。∴AD==64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为4810=480元。例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正

4、方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA,∴5，即，解得。如图，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米，平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴，即，解得。因为，即，，所以甲同学的加工方法符合要求。二、几何设计问题例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，

5、AB＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。解：可以设计如下四种方案：例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。方案一方案二方案三方案四5分析：本题如从三角形面积方面

6、考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。解：三、折线运动问题例5.如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．(1)选择：两船相遇之处E点在()．（A）线段AB上（B）线段BC上（C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两

7、船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DEABCD解：（1）B（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．过D作DF⊥CB，垂足为F，连结DE．则DE=x，AB+BE=2x．∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点，∴DF＝100，EF＝300－2x．在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝1002+(3