数学类保送生强化自学活动各门课程内容提要

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1、这里发布的是数学类保送生强化自学活动各门课程详细计划的删节版。欢迎大家这个和北大、清华、复旦，乃至于普林斯顿、哈佛数学系的课程大纲做对比。数学分析(A)-11，逻辑符号、集合与集合的初等运算、函数与映射、集合的势、公理集合论。2，实数的公理系统、上下确界、自然数集、有理数集、无理数集、数学归纳法、Archimedes原理、数直线、实数的q进制表示、Dedekind分割。3，闭区间套定理、有限覆盖定理、极限点定理、可数集、Cantor定理。4，数列极限的定义及其性质、极限的算术运算、夹逼原理、Cauchy列、Cauchy准则、Weierstrass定理、自然对数底e、Bolza

2、no-Weierstrass定理，数列的上下极限。5，Heine归结原理、极限的算术运算、滤子极限、Cauchy准则、复合函数与单调函数的极限、无穷大与无穷小量及其阶。6，函数连续性的定义、间断点、连续函数的性质、中间值定理、最大值定理、一致连续、Cantor-Heine定理、单调函数与反函数的连续性。7，用滤子基对Heine定义的函数极限进行推广、函数的上下极限。8，微分学的物理背景、微分与导数的定义、可微函数、微分与导数的几何意义、导数的计算、高阶导数。9，Fermat定理、Rolle定理、有限增量定理、l‘Hospital法则、带Peano余项的Taylor公式、Rot

3、h定理、带Schlomilch-Routh余项的Taylor公式、Lagrange余项与Cauchy余项。10，函数单调性的条件、函数的内极值点、Young不等式、Holder不等式、Minkowski不等式、凸函数、Jensen不等式、函数作图11，用微分学研究自然科学的一些例子。12，原函数与不定积分、原函数的计算方法、椭圆积分。数学分析(A)-21，积分的物理与几何背景、Riemann积分的定义、Riemann可积函数、可积函数空间、Lebesgue定理、Riemann积分积分区间的可加性、积分的估计、积分中值定理、一些重要的积分不等式。2，变上限的积分、Newton-

4、Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。3，广义积分的定义、广义积分的基本性质、广义积分的变量替换与分部积分公式、广义积分收敛性的判别法、有多个奇异点的广义积分、广义积分的主值。4，作为度量空间的R^n、R^n中的开集和闭集、R^n中的紧致集、R^n中的范数、作为Euclid空间的R^n。5，Euler定理、拓扑等价、Euclid空间中映射的连续性、同胚、闭曲面的分类定理、拓扑不变量。6，拓扑空间与度量空间的定义、开集、闭集、边界、拓扑基、Hausdorff空间、子拓扑、度量空间与拓扑空间的直积、第二可数空间。7

5、，连续映射、连续映射与同胚、Peano曲线、Tietze扩张定理、拓扑空间的紧致性、Heine-Borel定理、紧致空间的性质、Bolzano-Weierstrass性质、Lebesgue引理、局部紧空间、Lindelof定理。8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbe

6、rt空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。10，有限增量定理、连续可微映射、中值定理、映射的高阶微分与偏导数、高阶微分的运算、映射的Taylor公式、映射的局部极值、、切平面、法向量、切向量。11，隐映射定理、微分同胚、逆映射定理、秩定理、函数相关性、Morse引理。12，R^n中的k维子流形、切空间的定义、条件极值、Lagrange乘子法。数学分析(A)-31，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数

7、项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、Cauchy判别法、D‘Alembert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy-Maclaurin积分判别法。2，Leibniz级数、Abel判别法、Dirichlet判别法、级数的重排、Riemann定理、Mertens定理、二重级数、二重级数与累次级数之间的关系、二重绝对收敛级数的重排、无穷乘积、无穷乘积收敛的必要条件、无穷乘积的绝对收敛、Euler公式。3，函数列的收敛