次函数在闭区间最值

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1、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，当对称轴位于区间之间时，考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边，往往通过比较对称轴与区间中点的大小来判断。另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一

2、种情况。引例、求在（1）;（2）;（3）的最值。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：对称轴，故函数在区间上单调。（1）当时，函数在区间上是增函数，故；5（2）当时，函数在区间上是减函数，故例2、求函数的最值。解：对称轴（1）当时，，；（2）当时，，；（3）当时，，；（4）当时，，。例3、求函数在区间上的最值。解：对称轴（1）当即时，，；（2）当即时，，当时，，当时，；（3）当即时，，例4、讨论函数的最小值。解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，；5（2）当时，；（3）当

3、时，练习：1、函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______。（）2、已知，求的最值。（）3、求函数在上的最大值。3、函数在最大值是3，最小值是2，则m的范围是()4、已知函数，满足且方程有两相等的实数根。（1）求的表达式；（2）若，求函数在的最小值。，对称轴①当，即时，;②当，即时，③当，即时，④当，即时，5、已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是5顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。6、已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a

4、的值。解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5即解得故7、如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。（1）当。当时，函数取得最小值，。（2）当，即。当时，函数取得最小值，。（3）当，即。当时，函数取得最小值，综上讨论，8、设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。解：将二次函数配方得：其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上（1）当，即。当时，函数取得最小值，（2）当，即。当时，函数取得最小值，（3

5、）当，即。当时，函数取得最小值，5综上讨论，得9、已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。解：将代入S中，得则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即则当时，此时，，或若，即则当时，此时，，或（因舍去）综上讨论，参变数a的取值为，或，或10、已知，且当时，的最小值为1，求参变数a的值。解：将代入P中，得则P是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即则当时，此时，若，即则当时，此时，，或（因舍去）综上讨论，5